Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1589. feladat (2020. február)

C. 1589. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletet:

\(\displaystyle {(y^2+y-x-1)}^2+\left(x+\frac1x \right)^{2}=4. \)

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ismert, hogy egy számnak és a reciprokának az összege nagyobb vagy egyenlő, mint 2 vagy kisebb vagy egyenlő, mint \(\displaystyle -2\), és egyenlőség akkor van, ha a szám az 1 vagy a \(\displaystyle -1\). (Ez például a számtani és mértani közepek közötti összefüggés segítségével igazolható.) Ebből következik, hogy az egyenlet második tagja nagyobb vagy egyenlő, mint 4, és pontosan akkor 4, ha \(\displaystyle x=1\) vagy \(\displaystyle x=-1\). Mivel a jobb oldalon 4 áll, és a bal oldal első tagja nagyobb vagy egyenlő, mint 0 (hiszen valaminek a négyzete), így a második tagnak 4-nek kell lennie. Tehát \(\displaystyle x=1\) vagy \(\displaystyle x=-1\), a bal oldal első tagja pedig 0.

1. eset: \(\displaystyle x=1\)

\(\displaystyle y^2+y-1-1=0,\)

\(\displaystyle y^2+y-2=0,\)

amiből a másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva \(\displaystyle y=1\) vagy \(\displaystyle y=-2\).

2. eset: \(\displaystyle x=-1\)

\(\displaystyle y^2+y+1-1=0,\)

\(\displaystyle y^2+y=0,\)

\(\displaystyle y(y+1)=0.\)

Mivel egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így \(\displaystyle y=-1\) vagy \(\displaystyle y=0\).

A kapott négy számpárt visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe egyenlőséget kapunk, tehát ezek tényleg megoldások.

Vagyis a következő négy számpár a megoldása az egyenletnek: \(\displaystyle x=1\) és \(\displaystyle y=-2\), \(\displaystyle x=1\) és \(\displaystyle y=1\), \(\displaystyle x=-1\) és \(\displaystyle y=-1\) vagy \(\displaystyle x=-1\) és \(\displaystyle y=0\).


Statisztika:

A C. 1589. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. februári matematika feladatai