Problem C. 1589. (February 2020)

C. 1589. Solve the following equation over the set of real numbers:

\(\displaystyle {(y^2+y-x-1)}^2+\left(x+\frac1x \right)^{2}=4. \)

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Ismert, hogy egy számnak és a reciprokának az összege nagyobb vagy egyenlő, mint 2 vagy kisebb vagy egyenlő, mint \(\displaystyle -2\), és egyenlőség akkor van, ha a szám az 1 vagy a \(\displaystyle -1\). (Ez például a számtani és mértani közepek közötti összefüggés segítségével igazolható.) Ebből következik, hogy az egyenlet második tagja nagyobb vagy egyenlő, mint 4, és pontosan akkor 4, ha \(\displaystyle x=1\) vagy \(\displaystyle x=-1\). Mivel a jobb oldalon 4 áll, és a bal oldal első tagja nagyobb vagy egyenlő, mint 0 (hiszen valaminek a négyzete), így a második tagnak 4-nek kell lennie. Tehát \(\displaystyle x=1\) vagy \(\displaystyle x=-1\), a bal oldal első tagja pedig 0.

1. eset: \(\displaystyle x=1\)

\(\displaystyle y^2+y-1-1=0,\)

\(\displaystyle y^2+y-2=0,\)

amiből a másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva \(\displaystyle y=1\) vagy \(\displaystyle y=-2\).

2. eset: \(\displaystyle x=-1\)

\(\displaystyle y^2+y+1-1=0,\)

\(\displaystyle y^2+y=0,\)

\(\displaystyle y(y+1)=0.\)

Mivel egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így \(\displaystyle y=-1\) vagy \(\displaystyle y=0\).

A kapott négy számpárt visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe egyenlőséget kapunk, tehát ezek tényleg megoldások.

Vagyis a következő négy számpár a megoldása az egyenletnek: \(\displaystyle x=1\) és \(\displaystyle y=-2\), \(\displaystyle x=1\) és \(\displaystyle y=1\), \(\displaystyle x=-1\) és \(\displaystyle y=-1\) vagy \(\displaystyle x=-1\) és \(\displaystyle y=0\).

2. megoldás (vázlat). Rendezzük 0-ra az egyenletet:

\(\displaystyle (y^2+y-x-1)^2+\left(x-\frac 1x\right)^2=0.\)

Ez akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle y^2+y-x-1=0\) és \(\displaystyle x-\frac1x=0\). Ez utóbbiból \(\displaystyle x=\pm1\). Mindkettőt a másik egyenletbe helyettesítve megkapjuk a négy megoldást.

Statistics:

151 students sent a solution.
5 points:	96 students.
4 points:	30 students.
3 points:	13 students.
2 points:	5 students.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020