Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1590. feladat (2020. február)

C. 1590. Oldjuk meg a pozitív egész számokból álló számhármasok halmazán az alábbi egyenletet:

\(\displaystyle {(a+1)}^4\cdot {(b+1)}^4\cdot {(c+1)}^4=(40a+1)\cdot(40b+1)\cdot(40c+1). \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először vegyük észre, hogy \(\displaystyle a,b\) és \(\displaystyle c\) mindegyike páros. Ha ugyanis lenne köztük páratlan, akkor a jobb oldal páratlan, míg a bal oldal páros lenne, azaz nem lehetnének egyenlők. Mindebből az is következik, hogy \(\displaystyle a,b,c \geq 2\), hiszen \(\displaystyle a,b,c\) pozitív egész páros számok.

Belátjuk, hogy ha \(\displaystyle a \geq 2\), akkor

\(\displaystyle (a+1)^4 \geq 40a+1,\)

és egyenlőség pontosan akkor van, ha \(\displaystyle a=2\).

Ha \(\displaystyle a=2\), akkor mindkét oldal 81, azaz valóban egyenlő a 2 oldal.

A bal oldalt írjuk fel összeg alakban:

\(\displaystyle (a+1)^4=a^4+4a^3+6a^2+4a+1,\)

majd minden tagban egy \(\displaystyle a\) tényező kivételével a többit becsüljük alulról 2-vel:

\(\displaystyle a^4+4a^3+6a^2+4a+1 \geq 8a+16a+12a+4a+1 =40a+1,\)

azaz valóban teljesül az egyenlőtlenségünk.

Ugyanez elmondható \(\displaystyle a\) helyett \(\displaystyle b\)-re és \(\displaystyle c\)-re is, tehát ha \(\displaystyle a,b,c \geq 2\), akkor

\(\displaystyle (a+1)^4 \geq 40a+1,\)

\(\displaystyle (b+1)^4 \geq 40b+1,\)

\(\displaystyle (c+1)^4 \geq 40c+1,\)

és így (mivel mindhárom egyenlőtlenség mindkét oldalán pozitív szám áll):

\(\displaystyle (a+1)^4\cdot(b+1)^4\cdot(c+1)^4\geq (40a+1)\cdot(40b+1)\cdot(40c+1),\)

és egyenlőség pontosan akkor van, ha \(\displaystyle a=b=c=2\). Ezt visszahelyettesítve tényleg egyenlőséget kapunk.

Tehát \(\displaystyle a=b=c=2\) az egyenlet egyetlen megoldása.


Statisztika:

A C. 1590. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. februári matematika feladatai