Problem C. 1590. (February 2020)
C. 1590. Find the positive integer solutions of the equation
\(\displaystyle {(a+1)}^4\cdot {(b+1)}^4\cdot {(c+1)}^4=(40a+1)\cdot(40b+1)\cdot(40c+1). \)
(5 pont)
Deadline expired on March 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először vegyük észre, hogy \(\displaystyle a,b\) és \(\displaystyle c\) mindegyike páros. Ha ugyanis lenne köztük páratlan, akkor a jobb oldal páratlan, míg a bal oldal páros lenne, azaz nem lehetnének egyenlők. Mindebből az is következik, hogy \(\displaystyle a,b,c \geq 2\), hiszen \(\displaystyle a,b,c\) pozitív egész páros számok.
Belátjuk, hogy ha \(\displaystyle a \geq 2\), akkor
\(\displaystyle (a+1)^4 \geq 40a+1,\)
és egyenlőség pontosan akkor van, ha \(\displaystyle a=2\).
Ha \(\displaystyle a=2\), akkor mindkét oldal 81, azaz valóban egyenlő a 2 oldal.
A bal oldalt írjuk fel összeg alakban:
\(\displaystyle (a+1)^4=a^4+4a^3+6a^2+4a+1,\)
majd minden tagban egy \(\displaystyle a\) tényező kivételével a többit becsüljük alulról 2-vel:
\(\displaystyle a^4+4a^3+6a^2+4a+1 \geq 8a+16a+12a+4a+1 =40a+1,\)
azaz valóban teljesül az egyenlőtlenségünk.
Ugyanez elmondható \(\displaystyle a\) helyett \(\displaystyle b\)-re és \(\displaystyle c\)-re is, tehát ha \(\displaystyle a,b,c \geq 2\), akkor
\(\displaystyle (a+1)^4 \geq 40a+1,\)
\(\displaystyle (b+1)^4 \geq 40b+1,\)
\(\displaystyle (c+1)^4 \geq 40c+1,\)
és így (mivel mindhárom egyenlőtlenség mindkét oldalán pozitív szám áll):
\(\displaystyle (a+1)^4\cdot(b+1)^4\cdot(c+1)^4\geq (40a+1)\cdot(40b+1)\cdot(40c+1),\)
és egyenlőség pontosan akkor van, ha \(\displaystyle a=b=c=2\). Ezt visszahelyettesítve tényleg egyenlőséget kapunk.
Tehát \(\displaystyle a=b=c=2\) az egyenlet egyetlen megoldása.
Statistics:
124 students sent a solution. 5 points: Cseke Balázs, Cserkuti Sándor, Domján Olivér, Egyházi Hanna, Feczkó Nóra, Fekete Patrik, Gombos Gergely , Horváth Milán, Kadem Aziz, Kalabay László, Kalocsai Zoltán, Károly Kinga, Kim 666 Levente, Kis 194 Károly, Kocsis 827 Péter, Kosóczki Balázs, Majerusz Ádám, Molnár Réka, Nagy 429 Leila, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Novák Zalán Zoltán, Orosz Polett, Palencsár Enikő, Pásti Bence, Pilz Olivér, Schneider Anna, Sebestyén József Tas, Somogyi Dalma, Szabó Csege, Szabó Réka, Szabó Zóra, Szakács Domonkos, Szalanics Tamás, Székely Milán, Székelyhidi Klára, Szirmai Dénes, Tarján Teréz, Trombitás Karolina Sarolta. 4 points: 21 students. 3 points: 42 students. 2 points: 12 students. 1 point: 5 students. 0 point: 5 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020