Problem C. 1593. (February 2020)

C. 1593. Two sides of a triangle are 3 cm and 4 cm long. What is the angle enclosed by the sides if the medians drawn from the opposite vertices are perpendicular to each other?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle AB=3\), \(\displaystyle AC=4\), és \(\displaystyle E\) az \(\displaystyle AB\) oldal, \(\displaystyle F\) pedig az \(\displaystyle AC\) oldal felezőpontja. Továbbá legyen az \(\displaystyle A\) csúcsból a \(\displaystyle B\)-be mutató vektor \(\displaystyle \underline u\), a \(\displaystyle C\)-be mutató pedig \(\displaystyle \underline v\). Az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle AC\) oldalak által bezárt szöget jelölje \(\displaystyle \alpha\).

Mivel az \(\displaystyle EC\) és \(\displaystyle FB\) súlyvonalak merőlegesek egymásra, így \(\displaystyle \overrightarrow{EC}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{FB}\) is merőlegesek, ezért a skaláris szorzatuk 0. Vagyis

\(\displaystyle \overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{FB} =0,\)

amit az \(\displaystyle \underline u\) és \(\displaystyle \underline v\) vektor segítségével felírva kapjuk, hogy

\(\displaystyle \left(\underline v - \frac{\underline u}{2}\right) \cdot \left(\underline u - \frac{\underline v}{2}\right)=0.\)

Elvégezve a szorzást kapjuk, hogy

\(\displaystyle \underline v \cdot \underline u - \frac{\underline v^2}{2} - \frac{\underline u^2}{2} + \frac{\underline u \cdot \underline v}{4}=0.\)

Ebből:

\(\displaystyle |\underline v| \cdot |\underline u| \cdot \cos \alpha - \frac{|\underline v|^2}{2} - \frac{|\underline u|^2}{2} + \frac{|\underline u| \cdot |\underline v| \cdot \cos \alpha}{4}=0.\)

Felhasználva, hogy \(\displaystyle |\underline u|=3\) és \(\displaystyle |\underline v|=4\), ebből

\(\displaystyle 15 \cdot \cos \alpha = \frac{25}{2}\)

adódik, amiből

\(\displaystyle \cos \alpha = \frac{5}{6},\)

azaz

\(\displaystyle \alpha = \arccos \frac{5}{6} \approx 33,56^{\circ}.\)

Tehát a két oldal által bezárt szög \(\displaystyle \arccos \frac{5}{6} \approx 33,56^{\circ}\).

Statistics:

69 students sent a solution.
5 points:	Antal Virág Anna, Arató Zita, Bauer Lujza, Bihari Petra, Biró 424 Ádám, Csécsi Marcell, Csizy Gergő , Danó Ádám, Dinh Quocbao Róbert, Farkas Dániel, Féger Tamás, Galgóczy Gábor, Hajdú Bálint, Harcsa-Pintér András, Iván Petra, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kelemen Anna, Keresztesi Áron Zsombor , Kim 666 Levente, Kis 128 Ágnes , Kis 194 Károly, Kosóczki Balázs, Lakatos Enikő, Lukács Emma, Molnár Kristóf András, Molnár Réka, Nagy 009 Dávid, Nagy Vanda Orsolya, Németh Kristóf, Nyári Péter Ádám, Orosz Bence, Palencsár Enikő, Rosta Benjamin, Schäffer Bálint, Schneider Anna, Sümegi Géza, Szabó Csege, Szalontai Dorina Enikő, Szeibel Richard, Székelyhidi Klára, Szigeti Donát, Tápai Valér, Trombitás Karolina Sarolta, Tüske Anna, Viharos Márta Judit, Zaránd Andris.
4 points:	16 students.
3 points:	3 students.
2 points:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020