Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1594. feladat (2020. február)

C. 1594. Egy rendezvény nézőterének első sorában 24 szék van. Ezek közül 20 már foglalt. Mekkora annak a valószínűsége, hogy van 2 üres hely egymás mellett?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A keresett valószínűséget úgy fogjuk meghatározni, hogy a ,,jó'' esetek (van 2 üres hely egymás mellett) számát elosztjuk az összes eset számával.

Az összes lehetőségek száma \(\displaystyle \binom{24}{4}\), hiszen 24 székből kell kiválasztani 4-et, amik az üresek.

A jó esetek számát úgy fogjuk most meghatározni, hogy az összes esetből kivonjuk a ,,rossz'' esetek (nincs 2 üres hely egymás mellett) számát. A rossz lehetőségek számának kiszámolásához vegyünk egy tetszőleges elrendezést, ami rossz, azaz ahol bármely két üres szék között van legalább 1 foglalt szék. Most bármely 2 egymást követő üres szék közül ,,vegyünk'' el 1-1 széket (ezek tehát foglaltak), így összesen 3 széket veszünk el. Azaz a ,,rossz'' lehetőségeinket bijektív módon párba tudjuk állítani az összes olyan lehetőséggel, amikor 21 székünk van és közülük 4 tetszőleges üres. Ezeknek a száma a fentiekhez hasonlón \(\displaystyle \binom{21}{4}\). (Ha van 21 székünk, amiből 4 üres, akkor bármely 2 szomszédos üres hely közé egy ,,foglalt'' széket betéve visszakapjuk a kiindulási feladat ,,rossz'' eseteit.) Tehát a ,,jó'' esetek száma \(\displaystyle \binom{24}{4}-\binom{21}{4}\).

Így a keresett valószínűség

\(\displaystyle P= \frac{\binom{24}{4}-\binom{21}{4}}{\binom{24}{4}}=\frac{10626-5985}{10626}=\frac{4641}{10626}\approx 0,437.\)

Tehát annak a valószínűsége, hogy van 2 üres hely egymás mellett \(\displaystyle \frac{4641}{10626}\approx 0,437\).


Statisztika:

A C. 1594. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. februári matematika feladatai