Problem C. 1594. (February 2020)

C. 1594. The first row of seats in an auditorium consists of 24 seats. 20 seats are already taken. What is the probability that there are 2 adjacent vacant seats?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A keresett valószínűséget úgy fogjuk meghatározni, hogy a ,,jó'' esetek (van 2 üres hely egymás mellett) számát elosztjuk az összes eset számával.

Az összes lehetőségek száma \(\displaystyle \binom{24}{4}\), hiszen 24 székből kell kiválasztani 4-et, amik az üresek.

A jó esetek számát úgy fogjuk most meghatározni, hogy az összes esetből kivonjuk a ,,rossz'' esetek (nincs 2 üres hely egymás mellett) számát. A rossz lehetőségek számának kiszámolásához vegyünk egy tetszőleges elrendezést, ami rossz, azaz ahol bármely két üres szék között van legalább 1 foglalt szék. Most bármely 2 egymást követő üres szék közül ,,vegyünk'' el 1-1 széket (ezek tehát foglaltak), így összesen 3 széket veszünk el. Azaz a ,,rossz'' lehetőségeinket bijektív módon párba tudjuk állítani az összes olyan lehetőséggel, amikor 21 székünk van és közülük 4 tetszőleges üres. Ezeknek a száma a fentiekhez hasonlón \(\displaystyle \binom{21}{4}\). (Ha van 21 székünk, amiből 4 üres, akkor bármely 2 szomszédos üres hely közé egy ,,foglalt'' széket betéve visszakapjuk a kiindulási feladat ,,rossz'' eseteit.) Tehát a ,,jó'' esetek száma \(\displaystyle \binom{24}{4}-\binom{21}{4}\).

Így a keresett valószínűség

\(\displaystyle P= \frac{\binom{24}{4}-\binom{21}{4}}{\binom{24}{4}}=\frac{10626-5985}{10626}=\frac{4641}{10626}\approx 0,437.\)

Tehát annak a valószínűsége, hogy van 2 üres hely egymás mellett \(\displaystyle \frac{4641}{10626}\approx 0,437\).

Statistics:

69 students sent a solution.
5 points:	Andó Lujza, Bödő Lajos, Buzás Bence István, Csizy Gergő , Galgóczy Gábor, Hajdú Bálint, Horváth Tamás, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kim 666 Levente, Király Lénárd, Kis 194 Károly, Kosóczki Balázs, Lakatos Enikő, Molnár Réka, Nagy 009 Dávid, Palencsár Enikő, Pálfi Patrícia, Rátki Gergely, Schäffer Bálint, Schneider Anna, Sümegi Géza, Trombitás Karolina Sarolta, Viharos Márta Judit.
4 points:	Arató Zita, Hodosi Rozi.
3 points:	4 students.
2 points:	22 students.
1 point:	14 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020