Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1595. feladat (2020. március)

C. 1595. Határozzuk meg az összes olyan, pozitív egészekből álló \(\displaystyle (x,y)\) számpárt, amire

\(\displaystyle \frac1x+\frac1y=\frac{2}{1893}. \)

Javasolhatta volna: Cafenát-Pahneákh (Théba, Egyiptom)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.


Megoldás. Először szorozzunk be a nevezőkkel (megtehetjük, hisz \(\displaystyle x,y>0\)), majd rendezzük 0-ra az egyenletet:

\(\displaystyle 0=2xy-1893x-1893y.\)

Most a jobb oldalt 2-vel szorozzuk, majd szorzattá alakítjuk úgy, hogy a hiányzó konstans tagot mindkét oldalhoz hozzáadjuk:

\(\displaystyle 0=4xy-2\cdot 1893x-2\cdot 1893y,\)

\(\displaystyle 1893^2=(2x-1893)(2y-1893).\)

Mivel \(\displaystyle x,y\) pozitív egész számok, így a jobb oldalon két egész szám szorzata áll, azaz a bal oldalt kell előállítani két egész szám szorzataként. Továbbá mivel a bal oldal pozitív, így a jobb oldalon vagy mindkét tényező pozitív vagy mindkettő negatív.

Mivel \(\displaystyle x,y\) pozitívak, ezért

\(\displaystyle -1893 < 2x-1893,\ -1893< 2y-1893,\)

így ha negatívak lennének, szorzatuk nem adhatna \(\displaystyle 1893^2\)-t (hiszen mindkét tényező abszolút értéke 1893-nál kisebb lenne). Tehát mindkét tényező pozitív kell legyen.

Vagyis az \(\displaystyle 1893^2\)-t kell előállítanunk, mint két pozitív egész szám szorzata. Megvizsgáljuk az összes lehetőséget, és kiszámoljuk a kapott \(\displaystyle x,y\) értékeket az egyes esetekben. Jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle 1893\) prímtényezős felbontása \(\displaystyle 1893=3 \cdot 631\). Ez alapján az összes (pozitív) osztópárt megvizsgáljuk, az esetek (összesen 9 eset) az alábbi táblázatban láthatók (a feladat megoldásaival):

\(\displaystyle 2x-1893\) \(\displaystyle 2y-1893\) \(\displaystyle x\) \(\displaystyle y\)
1 3583449 947 1792671
3 1194483 948 598188
9 (\(\displaystyle =3^2\)) 398161 951 200027
631 5679 1262 3786
1893 (\(\displaystyle =3 \cdot 631\)) 1893 1893 1893
5679 (\(\displaystyle =3^2 \cdot 631\) )631 3786 1262
398161 (\(\displaystyle =631^2\)) 9 200027 951
1194483 (\(\displaystyle =3 \cdot 631^2\)) 3 598188 948
3583449 (\(\displaystyle =3^2\cdot 631^2\)) 1 1792671 947

Ezeket visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe egyenlőséget kapunk, azaz ezek az \(\displaystyle x,y\) számpárok tényleg megoldások.

Tehát az alábbi \(\displaystyle (x,y)\) számpárok a megoldásai az egyenletünknek:

\(\displaystyle (947, 1792671); (948, 598188); (951, 200027); (1262, 3786); (1893, 1893); (3786, 1262); (200027, 951); (598188, 948)\text{ és }(1792671, 947).\)

Megjegyzés. Az ókori egyiptomi matematika egyik érdekessége, hogy néhány kivételtől eltekintve a törteket mindig törzstörtekként írták föl. Például a \(\displaystyle \frac38\) az egyiptomi papiruszokon \(\displaystyle \frac14+\frac18\) alakban szerepel, vagyis egység számlálójú törteket használtak. És hogy kit takar a titokzatos név? "És nevezé a Fáraó József nevét Cafenát-Pahneákhnak." (Mózes 1. könyve, 41. fejezet, 45. vers.)


Statisztika:

A C. 1595. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai