 |
A C. 1595. feladat (2020. március) |
C. 1595. Határozzuk meg az összes olyan, pozitív egészekből álló \(\displaystyle (x,y)\) számpárt, amire
\(\displaystyle \frac1x+\frac1y=\frac{2}{1893}. \)
Javasolhatta volna: Cafenát-Pahneákh (Théba, Egyiptom)
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.
Megoldás. Először szorozzunk be a nevezőkkel (megtehetjük, hisz \(\displaystyle x,y>0\)), majd rendezzük 0-ra az egyenletet:
\(\displaystyle 0=2xy-1893x-1893y.\)
Most a jobb oldalt 2-vel szorozzuk, majd szorzattá alakítjuk úgy, hogy a hiányzó konstans tagot mindkét oldalhoz hozzáadjuk:
\(\displaystyle 0=4xy-2\cdot 1893x-2\cdot 1893y,\)
\(\displaystyle 1893^2=(2x-1893)(2y-1893).\)
Mivel \(\displaystyle x,y\) pozitív egész számok, így a jobb oldalon két egész szám szorzata áll, azaz a bal oldalt kell előállítani két egész szám szorzataként. Továbbá mivel a bal oldal pozitív, így a jobb oldalon vagy mindkét tényező pozitív vagy mindkettő negatív.
Mivel \(\displaystyle x,y\) pozitívak, ezért
\(\displaystyle -1893 < 2x-1893,\ -1893< 2y-1893,\)
így ha negatívak lennének, szorzatuk nem adhatna \(\displaystyle 1893^2\)-t (hiszen mindkét tényező abszolút értéke 1893-nál kisebb lenne). Tehát mindkét tényező pozitív kell legyen.
Vagyis az \(\displaystyle 1893^2\)-t kell előállítanunk, mint két pozitív egész szám szorzata. Megvizsgáljuk az összes lehetőséget, és kiszámoljuk a kapott \(\displaystyle x,y\) értékeket az egyes esetekben. Jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle 1893\) prímtényezős felbontása \(\displaystyle 1893=3 \cdot 631\). Ez alapján az összes (pozitív) osztópárt megvizsgáljuk, az esetek (összesen 9 eset) az alábbi táblázatban láthatók (a feladat megoldásaival):
| \(\displaystyle 2x-1893\) | \(\displaystyle 2y-1893\) | \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle y\) |
| 1 | 3583449 | 947 | 1792671 |
| 3 | 1194483 | 948 | 598188 |
| 9 (\(\displaystyle =3^2\)) | 398161 | 951 | 200027 |
| 631 | 5679 | 1262 | 3786 |
| 1893 (\(\displaystyle =3 \cdot 631\)) | 1893 | 1893 | 1893 |
| 5679 (\(\displaystyle =3^2 \cdot 631\) ) | 631 | 3786 | 1262 |
| 398161 (\(\displaystyle =631^2\)) | 9 | 200027 | 951 |
| 1194483 (\(\displaystyle =3 \cdot 631^2\)) | 3 | 598188 | 948 |
| 3583449 (\(\displaystyle =3^2\cdot 631^2\)) | 1 | 1792671 | 947 |
Ezeket visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe egyenlőséget kapunk, azaz ezek az \(\displaystyle x,y\) számpárok tényleg megoldások.
Tehát az alábbi \(\displaystyle (x,y)\) számpárok a megoldásai az egyenletünknek:
\(\displaystyle (947, 1792671); (948, 598188); (951, 200027); (1262, 3786); (1893, 1893); (3786, 1262); (200027, 951); (598188, 948)\text{ és }(1792671, 947).\)
Megjegyzés. Az ókori egyiptomi matematika egyik érdekessége, hogy néhány kivételtől eltekintve a törteket mindig törzstörtekként írták föl. Például a \(\displaystyle \frac38\) az egyiptomi papiruszokon \(\displaystyle \frac14+\frac18\) alakban szerepel, vagyis egység számlálójú törteket használtak. És hogy kit takar a titokzatos név? "És nevezé a Fáraó József nevét Cafenát-Pahneákhnak." (Mózes 1. könyve, 41. fejezet, 45. vers.)
Statisztika:
95 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bánó Bulcsú, Cserkuti Sándor, Dancsó 172 Dorottya, Deák Gergely, Dékány Csaba, Domján Olivér, Egyházi Hanna, Erdős Gábor, Faik Andrea, Feczkó Nóra, Flódung Áron , Halász Henrik, Horváth Milán, Jósvai Dominik, Kalocsai Zoltán, Koleszár Domonkos, Lőw László, Metzger Ábris András, Németh László Csaba, Pálfi Fruzsina Karina, Plósz István Marcell, Schiller Bence, Sebestyén József Tas, Somogyi Dalma, Szabó 219 Petra, Szabó Zóra, Szakács Domonkos, Szalanics Tamás, Szamkó Szabolcs, Szász Csenge, Szegedi Ágoston, Székely Milán, Szepesi Dorina, Szirák Szabolcs, Szittyai Anna, Virág 341 Péter, Xu Yiling. 4 pontot kapott: 16 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 10 versenyző. 1 pontot kapott: 20 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai