Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1596. feladat (2020. március)

C. 1596. Egy háromszög oldalai 5 cm, 5 cm és 6 cm hosszúak. A háromszögbe írható körnek az oldalakkal párhuzamos érintői és az oldalak egy hatszöget zárnak közre. Mekkora ennek a területe?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.


Megoldás. A megoldás során a rövidebb írásmód kedvéért a cm mértékegységet nem tüntetjük fel, egy egységnek a jelentése 1 cm lesz.

Használjuk az ábra jelöléseit: Legyenek a háromszög csúcsai \(\displaystyle A, B, C\) (\(\displaystyle AB=6, AC=BC=5\)), a keletkező hatszög csúcsai pedig \(\displaystyle L,M, N, O, P, Q\). A beírt kör sugara \(\displaystyle r\), a \(\displaystyle C\) csúcsból induló magasság talppontja \(\displaystyle E\), az \(\displaystyle OP\) szakaszon az érintési pont \(\displaystyle K\). (A tengelyes szimmetria alapján \(\displaystyle E\) egyben az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontja és a beírt kör érintési pontja, \(\displaystyle K\) pedig a beírt körön az \(\displaystyle E\)-vel átellenes pont.)

A Pitagorasz-tétel alapján a \(\displaystyle CE\) magasság hossze \(\displaystyle CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\), így az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe

\(\displaystyle T=\frac{AB\cdot CE}{2}=\frac{6\cdot 4}{2}=12.\)

Most írjuk fel a területet a félkerület (\(\displaystyle s=8\)) és a beírt kör sugara segítségével:

\(\displaystyle T= r \cdot s, \)

\(\displaystyle 12= r \cdot 8,\)

amiből

\(\displaystyle r=\frac32.\)

Mivel \(\displaystyle OP\) egyenes párhuzamsos \(\displaystyle AB\)-vel, így \(\displaystyle POC\) háromszög hasonló \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz. Meghatározva a hasonlóság arányát, tudni fogjuk \(\displaystyle POC\) háromszög területét is (a hasonlóság arányának négyzete lesz a területek aránya).

Korábban már meghatároztuk, hogy \(\displaystyle EC= 4\), a \(\displaystyle POC\) háromszög \(\displaystyle CK\) magassága pedig

\(\displaystyle CK=EC-2r=4-3=1.\)

Azaz a két háromszög magasságának aránya \(\displaystyle 1:4\), azaz a területük aránya \(\displaystyle 1:16\). Ebből

\(\displaystyle T_{POC}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}.\)

Szimmetriai okokból \(\displaystyle ALQ\) és \(\displaystyle MBN\) háromszög területe egyenlő, és hasonló módon számolható ki, mint \(\displaystyle POC\) háromszög területe. Például, nézzük az \(\displaystyle ALQ\) háromszöget. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben a \(\displaystyle BC\) oldalhoz tartozó magasság hossza \(\displaystyle \frac{24}{5}\). Az \(\displaystyle ALQ\) háromszögben a \(\displaystyle QL\)-hez tartozó magasság hossza \(\displaystyle \frac{24}{5}-2r=\frac{24}{5}-3=\frac{9}{5}\). Azaz a két háromszög hasonlóságának aránya \(\displaystyle (9/5):(24/5)=3:8\), így a területük aránya \(\displaystyle 9:64\). Ebből

\(\displaystyle T_{ALQ}=12 \cdot \frac{9}{64}= \frac{27}{16}.\)

Ekkor a hatszög területét már ki tudjuk számolni úgy, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög területéből kivonjuk a három ,,kis'' háromszög területét:

\(\displaystyle T_{\text{hatszög}}=12-\frac34-2 \cdot \frac{27}{16}= \frac{63}{8}.\)

Tehát a hatszög területe \(\displaystyle \frac{63}{8}\ \text{cm}^2\).


Statisztika:

A C. 1596. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai