Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1597. feladat (2020. március)

C. 1597. Hány különböző olyan derékszögű háromszög létezik, melynek oldalai egész mérőszámúak és az egyik oldal hossza \(\displaystyle 2^n\) (\(\displaystyle n\) pozitív egész, a választ \(\displaystyle n\) függvényében adjuk meg)?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a háromszög két befogója \(\displaystyle a,b\) és az átfogója \(\displaystyle c\).

1. eset: A háromszög egyik befogójának hossza \(\displaystyle 2^n\). Legyen \(\displaystyle a=2^n\). Ekkor

\(\displaystyle (2^n)^2+b^2=c^2,\)

vonjunk ki \(\displaystyle b^2\)-et mindkét oldalból

\(\displaystyle 2^{2n}=c^2-b^2,\)

majd alakítsuk szorzattá a jobb oldalt, így kapjuk:

\(\displaystyle 2^{2n}=(c-b)(c+b).\)

Azaz \(\displaystyle 2^{2n}\)-t kell felírni, mint két pozitív egész szám szorzata (\(\displaystyle c+b>0\) és \(\displaystyle 2^{2n}>0\), így \(\displaystyle c-b\) is pozitív). \(\displaystyle 2^{2n}\) pozitív osztói \(\displaystyle 1,2, 2^2,\dots, 2^{2n}\). Mivel \(\displaystyle c+b>c-b\) (hiszen \(\displaystyle c,b\) pozitívak), így \(\displaystyle c-b\) lehetséges értékei: \(\displaystyle 1,2, 2^2,\dots, 2^{n-1}\). (Az osztópár szigorúan kisebb tagja kisebb kell legyen, mint a \(\displaystyle 2^{2n}\) szám négyzetgyöke.) A megfelelő \(\displaystyle c+b\) értékek pedig rendre \(\displaystyle 2^{2n}, 2^{2n-1},\dots, 2^{n+1} \). Ezek közül az \(\displaystyle 1, 2^{2n}\) pár nem jó, mert \(\displaystyle c-b\) és \(\displaystyle c+b\) paritása megegyezik, hisz \(\displaystyle c\) a kettő összegének a fele, \(\displaystyle b\) pedig a kettő különbségének a fele. Az összes többi pár jó, \(\displaystyle c-b\) és \(\displaystyle c+b\) értékeiből \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle b\) a fent írt módon meghatározható, és pozitív egész értékeket kapunk rájuk. Mind az \(\displaystyle n-1\) esetben létezik tehát egy-egy ilyen háromszög, és ezek nem egybevágók, hiszen mindig \(\displaystyle b<c\), és különböző \(\displaystyle c-b,c+b\) pár csak különböző \(\displaystyle c,b\) párokhoz tartozhat. Tehát \(\displaystyle n-1\) féle megfelelő háromszög létezik ebben az esetben.

2. eset: A háromszög átfogójának hossza \(\displaystyle 2^n\). Ekkor

\(\displaystyle a^2+b^2=(2^n)^2=4^n.\)

Állítás: Ebben az esetben nincs megoldás.

Bizonyítás: \(\displaystyle n\)-re vonatkozó teljes indukcióval

\(\displaystyle n=1\)-re az állítás igaz, nincs pozitív egész megoldása az alábbi egyenletnek:

\(\displaystyle a^2+b^2=4,\)

hiszen a 4 nem írható fel két pozitív négyzetszám összegeként.

Tegyük fel, hogy \(\displaystyle n=k\)-ra igaz az állítás, azaz nincs megoldása az

\(\displaystyle a^2+b^2=4^k\)

egyenletnek.

Most megmutatjuk, hogy \(\displaystyle k+1\)-re is igaz az állítás. Tekintsük az

\(\displaystyle a^2+b^2=4^{k+1}\)

egyenletet, és tegyük fel, hogy erre nem igaz az állítás, azaz hogy van egész megoldása. Ekkor a jobb oldal \(\displaystyle 4\)-gyel osztható, így emiatt a bal oldalnak is 4-gyel oszthatónak kell lennie. Négyzetszám 4-gyel osztva 0 vagy 1 maradékot adhat, emiatt két négyzetszám összege csak úgy lehet 4-gyel osztható, ha mindkettő 4-gyel osztható. Azaz \(\displaystyle 4 | a^2, b^2\), és emiatt \(\displaystyle 2|a,b\).

Osszuk le az egyenletünk mindkét oldalát 4-gyel:

\(\displaystyle \left(\frac{a}{2} \right)^2 + \left(\frac{b}{2} \right)^2 = 4^k.\)

Így \(\displaystyle n=k\)-ra megkapjuk egy egész megoldását az egyenletünknek, ami ellentmondás, azaz igazoltuk az indukciós lépést.

Tehát ebben az esetben nem létezik ilyen háromszög.

Ezzel beláttuk, hogy \(\displaystyle n-1\) ilyen derékszögű háromszög létezik (egybevágóság erejéig).


Statisztika:

A C. 1597. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai