Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1598. feladat (2020. március)

C. 1598. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) oldalainak felezőpontjait összekötő \(\displaystyle MN\) szakasz hossza az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) oldalak hosszának számtani közepe. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABCD\) négyszög trapéz.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszöget tükrözzük középpontosan az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle M\) felezőpontjára, a képpontokat jelöljük a szokásos módon az ábrán is látható módon: \(\displaystyle X\) képe \(\displaystyle X'\).

Mivel \(\displaystyle N\) a \(\displaystyle CD\) oldal felezőpontja, ezért \(\displaystyle NC=ND\). A középpontos tükrözés tulajdonságai miatt \(\displaystyle ND=N'D'\) és \(\displaystyle ND \parallel N'D'\). Így \(\displaystyle NC\) és \(\displaystyle N'D'\) párhuzamos és egyenlő hosszú, azaz \(\displaystyle N'D'CN\) négyszög paralelogramma. Emiatt \(\displaystyle NN'\) és \(\displaystyle CD'\) is párhuzamos és egyenlő hosszú.

Másrészről \(\displaystyle NN'=2 \cdot MN = BC+AD\). Így \(\displaystyle CD'=NN'=BC+AD\). Továbbá \(\displaystyle AD=A'D'(=BD')\) a középpontos tükrözés tulajdonságai miatt. Így a \(\displaystyle CD'B\) háromszögben két oldal összege pont a harmadik oldal (\(\displaystyle CD'=BC+BD'\)), azaz ez egy elfajuló háromszög, \(\displaystyle B\) rajta van \(\displaystyle CD'\) egyenesen. Emiatt \(\displaystyle CB \parallel MN\).

Ugyanígy igazolható \(\displaystyle AD\)-ről is, hogy párhuzamos \(\displaystyle MN\)-nel, emiatt \(\displaystyle AD \parallel BC\), azaz \(\displaystyle ABCD\) négyszög valóban trapéz.


Statisztika:

A C. 1598. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. márciusi matematika feladatai