Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1598. (March 2020)

C. 1598. The length of the line segment \(\displaystyle MN\) joining the midpoints of sides \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle CD\) in a convex quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) is the arithmetic mean of the lengths of sides \(\displaystyle AD\) and \(\displaystyle BC\). Show that the quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) is a trapezium.

(5 pont)

Deadline expired on April 14, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle ABCD\) négyszöget tükrözzük középpontosan az \(\displaystyle AB\) oldal \(\displaystyle M\) felezőpontjára, a képpontokat jelöljük a szokásos módon az ábrán is látható módon: \(\displaystyle X\) képe \(\displaystyle X'\).

Mivel \(\displaystyle N\) a \(\displaystyle CD\) oldal felezőpontja, ezért \(\displaystyle NC=ND\). A középpontos tükrözés tulajdonságai miatt \(\displaystyle ND=N'D'\) és \(\displaystyle ND \parallel N'D'\). Így \(\displaystyle NC\) és \(\displaystyle N'D'\) párhuzamos és egyenlő hosszú, azaz \(\displaystyle N'D'CN\) négyszög paralelogramma. Emiatt \(\displaystyle NN'\) és \(\displaystyle CD'\) is párhuzamos és egyenlő hosszú.

Másrészről \(\displaystyle NN'=2 \cdot MN = BC+AD\). Így \(\displaystyle CD'=NN'=BC+AD\). Továbbá \(\displaystyle AD=A'D'(=BD')\) a középpontos tükrözés tulajdonságai miatt. Így a \(\displaystyle CD'B\) háromszögben két oldal összege pont a harmadik oldal (\(\displaystyle CD'=BC+BD'\)), azaz ez egy elfajuló háromszög, \(\displaystyle B\) rajta van \(\displaystyle CD'\) egyenesen. Emiatt \(\displaystyle CB \parallel MN\).

Ugyanígy igazolható \(\displaystyle AD\)-ről is, hogy párhuzamos \(\displaystyle MN\)-nel, emiatt \(\displaystyle AD \parallel BC\), azaz \(\displaystyle ABCD\) négyszög valóban trapéz.


Statistics:

95 students sent a solution.
5 points:Amaan Khan, Ámmer Fanni, Arató Zita, Barát Benedek, Barczikay Ákos, Biró 424 Ádám, Buzás Bence István, Cserkuti Sándor, Csonka Illés, Czehlár Gergely, Deák Gergely, Egyházi Hanna, Feczkó Nóra, Féger Tamás, Fekete Patrik, Hajdú Bálint, Halász Henrik, Horváth Antal, Horváth Milán, Kalabay László, Kalocsai Zoltán, Koleszár Domonkos, Lukács Emma, Majerusz Ádám, Metzger Ábris András, Molnár Réka, Németh László Csaba, Nyári Péter Ádám, Palencsár Enikő, Rács Zsóka, Schneider Anna, Sebestyén József Tas, Somogyi Dalma, Stein Felix, Szabó Réka, Szakács Domonkos, Szalanics Tamás, Trombitás Karolina Sarolta, Varga Boldizsár, Xu Yiling, Zaránd Andris.
4 points:16 students.
3 points:5 students.
2 points:3 students.
1 point:13 students.
0 point:15 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2020