Problem C. 1600. (March 2020)

C. 1600. Solve the following equation over the set of real numbers:

\(\displaystyle 4^x+9^x+36^x+\sqrt{\frac12-2x^2}=1. \)

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on April 14, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először vizsgáljuk meg a gyökös tagot. Mivel a gyökjel alatt nemnegatív értéknek kell állnia, így

\(\displaystyle \frac12 - 2x^2 \geq 0,\)

\(\displaystyle \frac14 \geq x^2,\)

azaz teljesülnie kell, hogy

\(\displaystyle -\frac12 \leq x \leq \frac12.\)

Ha \(\displaystyle 0 \leq x \leq \frac12\), akkor már a bal oldalon álló első három tag összege nagyobb 1-nél (mindhárom tag legalább 1), így ilyenkor nincs megoldása az egyenletnek.

Ha \(\displaystyle -\frac12 \leq x <0\), a bal oldalon négy szigorúan monoton növő függvény áll, azaz az összegük, így maga a bal oldal is szigorúan monoton növő. Speciálisan az is következik, hogy legfeljebb egy helyen lehet az értéke 1. Másrészt, vegyük észre, hogy \(\displaystyle x=-\frac12\)-t behelyettesítve a bal oldalon \(\displaystyle \frac12+\frac13+\frac16+0\) adódik, ami éppen 1, vagyis \(\displaystyle x=-\frac12\) megoldás.

Tehát egy megoldása van az egyenletnek, \(\displaystyle x=-\frac12\).

Statistics:

58 students sent a solution.
5 points:	Abóczki Richárd Noel, Ajtai Janka, Ámmer Fanni, Andó Lujza, Baki Bence István, Bihari Petra, Biró 424 Ádám, Bödő Lajos, Buzás Bence István, Csizmadia Máté Zalán, Csizy Gergő , Fekete András Albert, Hajdú Bálint, Horváth 127 Ádám, Kadem Aziz, Kalabay László, Kelemen Anna, Kis 194 Károly, Kosóczki Balázs, Molnár Réka, Palencsár Enikő, Rátki Gergely, Róth Rebeka, Szigeti Donát, Trombitás Karolina Sarolta, Vakaris Klyvis, Viharos Márta Judit.
4 points:	Amamou Martin, Arató Zita, Egerszegi Balázs, Kós Péter, Majerusz Ádám, Nagy 009 Dávid, Németh Kristóf, Pál Mihály, Sümegi Géza, Szabó Csege, Székelyhidi Klára, Zaránd Andris.
3 points:	6 students.
2 points:	4 students.
1 point:	4 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2020