Problem C. 1601. (March 2020)

C. 1601. The height of a lateral face of a right pyramid with a square base is twice as long as the base edge. At what percentage of this height (counting from the base) do we need to cut the pyramid with a plane parallel to the base so that the total area of the lateral surface plus top square of the resulting frustum is equal to half the lateral surface area of the original pyramid?

(5 pont)

Deadline expired on April 14, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A gúla alapélének hossza legyen \(\displaystyle a\), ekkor az oldallapok magassága \(\displaystyle 2a\). Nézzünk egy oldallapot. Mikor a gúlát az alaplappal párhuzamos síkkal kettévágjuk, akkor egy oldallapot az alapéllel párhuzamos szakasszal – a sík és az oldallap metszete – kettévágunk egy háromszögre és egy trapézra az ábrán látható módon. Az oldallap csúcsai legyenek \(\displaystyle A, B, E\), és a szakasz végpontjai \(\displaystyle J, K\) (az ábra szerint).

Az \(\displaystyle ABE\) háromszög hasonló \(\displaystyle JKE\) háromszöghöz (két oldaluk egy egyenesen van, a harmadik párhuzamos), a hasonlóság aránya legyen \(\displaystyle \lambda\). Ekkor a területük aránya \(\displaystyle \lambda^2\), továbbá \(\displaystyle JK=\lambda a\).

\(\displaystyle T_{ABE}= \frac{2a \cdot a}{2}= a^2,\)

ekkor

\(\displaystyle T_{JKE}= \lambda^2 a^2.\)

Így az \(\displaystyle ABJK\) trapéz területe

\(\displaystyle T_{ABJK}= (1-\lambda^2)a^2.\)

Az eredeti gúla palástjának területe négyszerese az \(\displaystyle ABE\) oldallap háromszög területének (hiszen a gúla szabályos):

\(\displaystyle T_{\text{palást}}=4 a^2.\)

Így a csonkagúla fedőlapjának (\(\displaystyle \lambda a\) oldalú négyzet) és palástjának összterületének \(\displaystyle 2 a^2\)-nek kell lennie. (A korábbiak szerint a csonkagúla palástja 4 db egybevágó trapézból áll, melyek területe megegyezik \(\displaystyle ABJK\) területével.)

\(\displaystyle T=2 a^2= (\lambda a )^2 + 4 (1-\lambda^2)a^2,\)

\(\displaystyle 2a^2= 4 a^2 - 3 \lambda^2a^2,\)

amiből

\(\displaystyle \lambda^2= \frac23,\)

vagyis

\(\displaystyle \lambda = \sqrt{\frac23}.\)

Ebből \(\displaystyle 1-\lambda= 1-\sqrt{\frac23} \approx 0,1835. \)

Azaz a magasság \(\displaystyle \left(1-\sqrt{\frac23}\right) \cdot 100 \approx 18,35 \% \)-ánál kell elvágni a gúlát. (Ez persze mind a gúla magasságára, minden az oldallap magasságára is igaz.)

Statistics:

41 students sent a solution.
5 points:	Andó Lujza, Antal Virág Anna, Biró 424 Ádám, Buzás Bence István, Hajdú Bálint, Izsa Regina Mária, Kelemen Anna, Kis 194 Károly, Kosóczki Balázs, Kulcsár Kevin, Molnár Réka, Nagy 009 Dávid, Nyári Péter Ádám, Palencsár Enikő, Rátki Gergely, Rosta Benjamin, Szabó Csege, Székelyhidi Klára, Szigeti Donát, Vakaris Klyvis.
4 points:	Ámmer Fanni, Arató Zita, Féger Tamás, Fekete András Albert, Lukács Emma, Nagy Vanda Orsolya, Németh Kristóf, Pál Mihály, Schneider Anna, Sümegi Géza, Trombitás Karolina Sarolta, Tüske Anna, Viharos Márta Judit.
3 points:	2 students.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2020