Problem C. 1603. (April 2020)

C. 1603. The altitude drawn from vertex \(\displaystyle A\) of an isosceles triangle \(\displaystyle ABC\) intersects the leg \(\displaystyle BC\) at \(\displaystyle T\). Let \(\displaystyle M\) denote the orthocentre, and let \(\displaystyle O\) be the centre of the inscribed circle. Prove that if line \(\displaystyle OT\) is parallel to the base \(\displaystyle AB\), then \(\displaystyle MC=2AM\).

(5 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle D\) a \(\displaystyle C\) csúcsból induló magasság talppontja, ezen rajta van \(\displaystyle O\) is, hiszen \(\displaystyle ABC\) háromszög egyenlő szárú és az alaphoz tartozó magasságvonal egyben szögfelezője is az alappal szemközti szögnek. \(\displaystyle T\)-ből állítsunk merőlegest \(\displaystyle AB\)-re, talppontja legyen \(\displaystyle F\), valamint \(\displaystyle O\)-ból a \(\displaystyle BC\) szárra állított merőleges talppontját jelölje \(\displaystyle E\). Az ábrán az így keletkező derékszögeket zölddel jelöltük.

Továbbá a párhuzamos és merőleges szakaszok miatt \(\displaystyle BAT \angle = FTB \angle = ATO \angle = TOE \angle = ECO \angle\), ezeket pirossal jelöltük.

Először vegyük észre, hogy \(\displaystyle OD=OE\), mert mindkettő a beírt kör sugarával egyenlő, továbbá \(\displaystyle OD=FT\), mert a \(\displaystyle DFTO\) négyszög téglalap. Azaz

\(\displaystyle OE=OD=FT.\)

Emiatt az \(\displaystyle FBT\) és az \(\displaystyle ETO\) derékszögű háromszögek egybevágóak, mert egyik befogójuk és szögeik megegyeznek. Tehát

\(\displaystyle BT=TO.\)

Ebből következően az \(\displaystyle ABT\) és a \(\displaystyle CTO\) háromszögek is egybevágóak, hiszen szögeik és egyik befogójuk egyenlő. Tehát

\(\displaystyle CT=AB=2AD.\)

Végül a \(\displaystyle CMT\) ás \(\displaystyle AMD\) háromszögek hasonlók, mert szögeik megegyeznek, így

\(\displaystyle \frac{AM}{CM}= \frac{AD}{CT}=\frac{1}{2},\)

tehát

\(\displaystyle CM=2AM,\)

azaz az állítást beláttuk.

Statistics:

34 students sent a solution.
5 points:	Cserkuti Sándor, Csilling Dániel, Csonka Illés, Egyházi Hanna, Feczkó Nóra, Hajós Balázs, Horváth Milán, Kalocsai Zoltán, Kovács Benedek Noel, László Gergely, Németh László Csaba, Somogyi Dalma, Szabó Zóra, Szalanics Tamás, Szamkó Szabolcs, Téglás Panna.
4 points:	Barát Benedek, Fekete Patrik, Foris Dávid, Nagy 429 Leila, Németh Máté Előd, Sebestyén József Tas, Varga Boldizsár.
3 points:	5 students.
2 points:	4 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2020