Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1604. feladat (2020. április)

C. 1604. A mezőgazdasági kiállításon és vásáron egy termelő az általa előállított vetőmaggal jelentkezett. Összesen 1225 csomagot hozott: 1 db 1 grammos, 2 db 2 grammos, 3 db 3 grammos, ..., \(\displaystyle k\) db \(\displaystyle k\) grammos csomagot – \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle k\)-ig minden pozitív egész szám előfordul. Átlagosan hány gramm vetőmag volt egy csomagban?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Először határozzuk meg \(\displaystyle k\) értékét:

\(\displaystyle 1+2+\cdots+k=1225,\)

azaz

\(\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}=1225.\)

Felbontva a zárójelet, átszorozva, 0-ra rendezve kapjuk, hogy:

\(\displaystyle k^2+k-2450=0.\)

A másodfokú egyenlet megoldóképletéből \(\displaystyle k_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+9800}}{2}=\frac{-1\pm99}{2}\), vagyis \(\displaystyle k=49\) (hiszen \(\displaystyle k>0\), a másik gyök pedig negatív).

Most számoljuk ki, hogy átlagosan hány gramm vetőmag van egy csomagban:

\(\displaystyle \frac{1 \cdot 1+ 2 \cdot 2+ \cdots + 49 \cdot 49}{1225}=\frac{1^2+2^2+ \cdots +49^2}{1225}.\)

Felhasználva, hogy az első \(\displaystyle n\) négyzetszám összege \(\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{1^2+2^2+ \cdots +49^2}{1225}=\frac{49 \cdot 50 \cdot 99}{6 \cdot 1225}=33.\)

Tehát átlagosan 33 gramm vetőmag van egy csomagban.


Statisztika:

A C. 1604. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai