Problem C. 1604. (April 2020)
C. 1604. A farmer brought 1225 packets of seeds to an agricultural fair: 1 packet of 1 gram of seeds, 2 packets of 2 grams, 3 packets of 3 grams, ..., \(\displaystyle k\) packets of \(\displaystyle k\) grams of seeds in each – every positive integer \(\displaystyle 1\) to \(\displaystyle k\) occurred. What was the average mass of seeds in a packet?
(5 pont)
Deadline expired on May 11, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először határozzuk meg \(\displaystyle k\) értékét:
\(\displaystyle 1+2+\cdots+k=1225,\)
azaz
\(\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}=1225.\)
Felbontva a zárójelet, átszorozva, 0-ra rendezve kapjuk, hogy:
\(\displaystyle k^2+k-2450=0.\)
A másodfokú egyenlet megoldóképletéből \(\displaystyle k_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+9800}}{2}=\frac{-1\pm99}{2}\), vagyis \(\displaystyle k=49\) (hiszen \(\displaystyle k>0\), a másik gyök pedig negatív).
Most számoljuk ki, hogy átlagosan hány gramm vetőmag van egy csomagban:
\(\displaystyle \frac{1 \cdot 1+ 2 \cdot 2+ \cdots + 49 \cdot 49}{1225}=\frac{1^2+2^2+ \cdots +49^2}{1225}.\)
Felhasználva, hogy az első \(\displaystyle n\) négyzetszám összege \(\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{1^2+2^2+ \cdots +49^2}{1225}=\frac{49 \cdot 50 \cdot 99}{6 \cdot 1225}=33.\)
Tehát átlagosan 33 gramm vetőmag van egy csomagban.
Statistics:
190 students sent a solution. 5 points: 153 students. 4 points: 19 students. 3 points: 11 students. 2 points: 3 students. 1 point: 3 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2020