Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1604. (April 2020)

C. 1604. A farmer brought 1225 packets of seeds to an agricultural fair: 1 packet of 1 gram of seeds, 2 packets of 2 grams, 3 packets of 3 grams, ..., \(\displaystyle k\) packets of \(\displaystyle k\) grams of seeds in each – every positive integer \(\displaystyle 1\) to \(\displaystyle k\) occurred. What was the average mass of seeds in a packet?

(5 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először határozzuk meg \(\displaystyle k\) értékét:

\(\displaystyle 1+2+\cdots+k=1225,\)

azaz

\(\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}=1225.\)

Felbontva a zárójelet, átszorozva, 0-ra rendezve kapjuk, hogy:

\(\displaystyle k^2+k-2450=0.\)

A másodfokú egyenlet megoldóképletéből \(\displaystyle k_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+9800}}{2}=\frac{-1\pm99}{2}\), vagyis \(\displaystyle k=49\) (hiszen \(\displaystyle k>0\), a másik gyök pedig negatív).

Most számoljuk ki, hogy átlagosan hány gramm vetőmag van egy csomagban:

\(\displaystyle \frac{1 \cdot 1+ 2 \cdot 2+ \cdots + 49 \cdot 49}{1225}=\frac{1^2+2^2+ \cdots +49^2}{1225}.\)

Felhasználva, hogy az első \(\displaystyle n\) négyzetszám összege \(\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{1^2+2^2+ \cdots +49^2}{1225}=\frac{49 \cdot 50 \cdot 99}{6 \cdot 1225}=33.\)

Tehát átlagosan 33 gramm vetőmag van egy csomagban.


Statistics:

190 students sent a solution.
5 points:153 students.
4 points:19 students.
3 points:11 students.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2020