Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1605. feladat (2020. április)

C. 1605. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög átlóinak metszéspontja \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle ABM\) háromszög területe nagyobb a \(\displaystyle CDM\) háromszög területénél. A négyszög \(\displaystyle BC\) oldalának felezőpontja \(\displaystyle P\), \(\displaystyle CD\) oldalának felezőpontja pedig \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle AP+AQ=\sqrt2\,\). Bizonyítsuk be, hogy ekkor az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe kisebb, mint 1.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A megoldás során jelölje \(\displaystyle e\) a \(\displaystyle BD\) átló hosszát, \(\displaystyle h_1\), illetve \(\displaystyle h_2\) pedig az \(\displaystyle A\), illetve a \(\displaystyle C\) pont távolságát a \(\displaystyle BD\) átlótól.

Írjuk fel az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területét az \(\displaystyle ABD\) és a \(\displaystyle BCD\) háromszögek területének összegeként:

\(\displaystyle T_{ABCD}=T_{ABD}+T_{BCD}= \frac{e \cdot h_1}{2}+ \frac{e \cdot h_2}{2} = \frac{e \cdot (h_1 + h_2)}{2}.\)

Most nézzük az \(\displaystyle APQ\) háromszög területét, ami kisebb vagy egyenlő, mint \(\displaystyle AP \cdot AQ /2\), hiszen felírható, mint az \(\displaystyle AP\) oldal és a \(\displaystyle Q\) pont \(\displaystyle AP\) oldaltól vett távolságának a szorzatának a fele. Továbbá a számtani és mértani közepek közti összefüggésből \(\displaystyle \sqrt {AP \cdot AQ} \leq \frac{AP+AQ}{2}= \frac{1}{\sqrt2}.\) Ezeket felhasználva kapjuk, hogy

\(\displaystyle T_{APQ} \leq \frac{AP \cdot AQ}{2} \leq \frac14.\)

Másrészt az \(\displaystyle APQ\) háromszög területe felírható a szokásos területképlet segítségével is: \(\displaystyle PQ\) és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele. Mivel \(\displaystyle PQ\) középvonal a \(\displaystyle BCD\) háromszögben, így hossza \(\displaystyle e/2\). A \(\displaystyle PQ\)-hoz tartozó magasság pedig \(\displaystyle h_1+\frac{h_2}{2}\), ismét azt használva, hogy \(\displaystyle PQ\) középvonal a \(\displaystyle BCD\) háromszögben. Tehát:

\(\displaystyle T_{APQ} = \frac{\frac{e}{2} \cdot (h_1 + \frac{h_2}{2})}{2}= \frac{e \cdot (2h_1+h_2)}{8}.\)

Ezeket összevetve adódik, hogy

\(\displaystyle T_{ABCD}=\frac{e(h_1+h_2)}{2} < 4 \cdot \frac{e(2h_1+h_2)}{8}=4 \cdot T_{APQ} \leq 1, \)

ahol az első egyenlőtlenség azért szigorú, mert \(\displaystyle 2h_1\) szerepel \(\displaystyle APQ\) területképletében és nem \(\displaystyle h_1\), és a négyszög konvexitása alapján \(\displaystyle h_1>0\).

Azaz

\(\displaystyle T_{ABCD} < 1.\)

Ezzel megmutattuk, hogy az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe kisebb, mint 1.

Megjegyzés. A feladatban szereplő \(\displaystyle ABM\) és \(\displaystyle CDM\) háromszögek területének nagyságviszonyát nem használtuk a megoldáshoz.


Statisztika:

A C. 1605. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai