Problem C. 1605. (April 2020)

C. 1605. The diagonals of a convex quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) intersect at \(\displaystyle M\). The area of triangle \(\displaystyle ABM\) is greater than the area of triangle \(\displaystyle CDM\). The midpoint of side \(\displaystyle BC\) of the quadrilateral is \(\displaystyle P\), and the midpoint of side \(\displaystyle CD\) is \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle AP+AQ=\sqrt2\,\). Prove that the area of quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) is less than 1.

(5 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megoldás során jelölje \(\displaystyle e\) a \(\displaystyle BD\) átló hosszát, \(\displaystyle h_1\), illetve \(\displaystyle h_2\) pedig az \(\displaystyle A\), illetve a \(\displaystyle C\) pont távolságát a \(\displaystyle BD\) átlótól.

Írjuk fel az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területét az \(\displaystyle ABD\) és a \(\displaystyle BCD\) háromszögek területének összegeként:

\(\displaystyle T_{ABCD}=T_{ABD}+T_{BCD}= \frac{e \cdot h_1}{2}+ \frac{e \cdot h_2}{2} = \frac{e \cdot (h_1 + h_2)}{2}.\)

Most nézzük az \(\displaystyle APQ\) háromszög területét, ami kisebb vagy egyenlő, mint \(\displaystyle AP \cdot AQ /2\), hiszen felírható, mint az \(\displaystyle AP\) oldal és a \(\displaystyle Q\) pont \(\displaystyle AP\) oldaltól vett távolságának a szorzatának a fele. Továbbá a számtani és mértani közepek közti összefüggésből \(\displaystyle \sqrt {AP \cdot AQ} \leq \frac{AP+AQ}{2}= \frac{1}{\sqrt2}.\) Ezeket felhasználva kapjuk, hogy

\(\displaystyle T_{APQ} \leq \frac{AP \cdot AQ}{2} \leq \frac14.\)

Másrészt az \(\displaystyle APQ\) háromszög területe felírható a szokásos területképlet segítségével is: \(\displaystyle PQ\) és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele. Mivel \(\displaystyle PQ\) középvonal a \(\displaystyle BCD\) háromszögben, így hossza \(\displaystyle e/2\). A \(\displaystyle PQ\)-hoz tartozó magasság pedig \(\displaystyle h_1+\frac{h_2}{2}\), ismét azt használva, hogy \(\displaystyle PQ\) középvonal a \(\displaystyle BCD\) háromszögben. Tehát:

\(\displaystyle T_{APQ} = \frac{\frac{e}{2} \cdot (h_1 + \frac{h_2}{2})}{2}= \frac{e \cdot (2h_1+h_2)}{8}.\)

Ezeket összevetve adódik, hogy

\(\displaystyle T_{ABCD}=\frac{e(h_1+h_2)}{2} < 4 \cdot \frac{e(2h_1+h_2)}{8}=4 \cdot T_{APQ} \leq 1, \)

ahol az első egyenlőtlenség azért szigorú, mert \(\displaystyle 2h_1\) szerepel \(\displaystyle APQ\) területképletében és nem \(\displaystyle h_1\), és a négyszög konvexitása alapján \(\displaystyle h_1>0\).

Azaz

\(\displaystyle T_{ABCD} < 1.\)

Ezzel megmutattuk, hogy az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe kisebb, mint 1.

Megjegyzés. A feladatban szereplő \(\displaystyle ABM\) és \(\displaystyle CDM\) háromszögek területének nagyságviszonyát nem használtuk a megoldáshoz.

Statistics:

38 students sent a solution.
5 points:	Barczikay Ákos, Cserkuti Sándor, Csonka Illés, Feczkó Nóra, Féger Tamás, Fekete András Albert, Hajdú Bálint, Halász Henrik, Horváth Milán, Kalocsai Zoltán, Lőw László, Molnár Réka, Nagy 429 Leila, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Palencsár Enikő, Schneider Anna, Somogyi Dalma, Szalanics Tamás, Viharos Márta Judit.
4 points:	Andó Lujza, Inokai Dávid.
3 points:	6 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2020