 |
A C. 1606. feladat (2020. április) |
C. 1606. Egy téglatest két oldallapjának területe 40, illetve 56 területegység. A testátló hossza \(\displaystyle \sqrt{138}\) egység. Mekkora lehet a téglatest felszíne, illetve térfogata?
Kiss Sándor (Nyíregyháza)
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyenek a téglatest élei \(\displaystyle a,b,c\) (\(\displaystyle a,b,c >0\)). Feltehető, hogy \(\displaystyle ab=40\) és \(\displaystyle ac=56\). Ezekből az \(\displaystyle a\) oldal segítségével fejezzük ki \(\displaystyle b\)-t és \(\displaystyle c\)-t: \(\displaystyle b=\frac{40}{a}\) és \(\displaystyle c=\frac{56}{a}\).
A téglatest testátlóját írjuk fel az oldalak segítségével a jól ismert módon:
\(\displaystyle \sqrt{138}= \sqrt{a^2+b^2+c^2},\)
amiből
\(\displaystyle 138=a^2+\frac{1600}{a^2}+ \frac{3136}{a^2}.\)
Szorozzunk be \(\displaystyle a^2\)-tel, és rendezzük 0-ra:
\(\displaystyle 0=a^4-138 a^2+ 4736.\)
A másodfokú megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy \(\displaystyle a^2=64\) vagy \(\displaystyle 74\). Ebből \(\displaystyle a=8\) vagy \(\displaystyle \sqrt{74}\) (\(\displaystyle a>0\)).
Ha \(\displaystyle a=8\), akkor visszahelyettesítve kapjuk, hogy \(\displaystyle b=5\) és \(\displaystyle c=7\). Ekkor \(\displaystyle V=280\) és \(\displaystyle A=262\).
Ha \(\displaystyle a=\sqrt{74}\), akkor \(\displaystyle b=\frac{40}{\sqrt{74}}\) és \(\displaystyle c=\frac{56}{\sqrt{74}}\).
Ekkor \(\displaystyle V=\frac{2240}{\sqrt{74}}\) és \(\displaystyle A=\frac{9344}{37}\).
Mindkét esetben visszahelyettesítve a feladat feltételei teljesülnek.
Azaz a téglatest térfogata és felszíne \(\displaystyle V=280\) és \(\displaystyle A=262\) vagy \(\displaystyle V=\frac{2240}{\sqrt{74}}\) és \(\displaystyle A=\frac{9344}{37}\).
Statisztika:
162 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 109 versenyző. 4 pontot kapott: 14 versenyző. 3 pontot kapott: 16 versenyző. 2 pontot kapott: 14 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai