Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1606. feladat (2020. április)

C. 1606. Egy téglatest két oldallapjának területe 40, illetve 56 területegység. A testátló hossza \(\displaystyle \sqrt{138}\) egység. Mekkora lehet a téglatest felszíne, illetve térfogata?

Kiss Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyenek a téglatest élei \(\displaystyle a,b,c\) (\(\displaystyle a,b,c >0\)). Feltehető, hogy \(\displaystyle ab=40\) és \(\displaystyle ac=56\). Ezekből az \(\displaystyle a\) oldal segítségével fejezzük ki \(\displaystyle b\)-t és \(\displaystyle c\)-t: \(\displaystyle b=\frac{40}{a}\) és \(\displaystyle c=\frac{56}{a}\).

A téglatest testátlóját írjuk fel az oldalak segítségével a jól ismert módon:

\(\displaystyle \sqrt{138}= \sqrt{a^2+b^2+c^2},\)

amiből

\(\displaystyle 138=a^2+\frac{1600}{a^2}+ \frac{3136}{a^2}.\)

Szorozzunk be \(\displaystyle a^2\)-tel, és rendezzük 0-ra:

\(\displaystyle 0=a^4-138 a^2+ 4736.\)

A másodfokú megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy \(\displaystyle a^2=64\) vagy \(\displaystyle 74\). Ebből \(\displaystyle a=8\) vagy \(\displaystyle \sqrt{74}\) (\(\displaystyle a>0\)).

Ha \(\displaystyle a=8\), akkor visszahelyettesítve kapjuk, hogy \(\displaystyle b=5\) és \(\displaystyle c=7\). Ekkor \(\displaystyle V=280\) és \(\displaystyle A=262\).

Ha \(\displaystyle a=\sqrt{74}\), akkor \(\displaystyle b=\frac{40}{\sqrt{74}}\) és \(\displaystyle c=\frac{56}{\sqrt{74}}\).

Ekkor \(\displaystyle V=\frac{2240}{\sqrt{74}}\) és \(\displaystyle A=\frac{9344}{37}\).

Mindkét esetben visszahelyettesítve a feladat feltételei teljesülnek.

Azaz a téglatest térfogata és felszíne \(\displaystyle V=280\) és \(\displaystyle A=262\) vagy \(\displaystyle V=\frac{2240}{\sqrt{74}}\) és \(\displaystyle A=\frac{9344}{37}\).


Statisztika:

A C. 1606. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai