Problem C. 1606. (April 2020)

C. 1606. The areas of two faces of a cuboid are 40 and 56 units. The length of the diagonal of the cuboid is \(\displaystyle \sqrt{138}\) units of length. Calculate the possible surface area and the volume of the cuboid.

S. Kiss, Nyíregyháza

(5 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a téglatest élei \(\displaystyle a,b,c\) (\(\displaystyle a,b,c >0\)). Feltehető, hogy \(\displaystyle ab=40\) és \(\displaystyle ac=56\). Ezekből az \(\displaystyle a\) oldal segítségével fejezzük ki \(\displaystyle b\)-t és \(\displaystyle c\)-t: \(\displaystyle b=\frac{40}{a}\) és \(\displaystyle c=\frac{56}{a}\).

A téglatest testátlóját írjuk fel az oldalak segítségével a jól ismert módon:

\(\displaystyle \sqrt{138}= \sqrt{a^2+b^2+c^2},\)

amiből

\(\displaystyle 138=a^2+\frac{1600}{a^2}+ \frac{3136}{a^2}.\)

Szorozzunk be \(\displaystyle a^2\)-tel, és rendezzük 0-ra:

\(\displaystyle 0=a^4-138 a^2+ 4736.\)

A másodfokú megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy \(\displaystyle a^2=64\) vagy \(\displaystyle 74\). Ebből \(\displaystyle a=8\) vagy \(\displaystyle \sqrt{74}\) (\(\displaystyle a>0\)).

Ha \(\displaystyle a=8\), akkor visszahelyettesítve kapjuk, hogy \(\displaystyle b=5\) és \(\displaystyle c=7\). Ekkor \(\displaystyle V=280\) és \(\displaystyle A=262\).

Ha \(\displaystyle a=\sqrt{74}\), akkor \(\displaystyle b=\frac{40}{\sqrt{74}}\) és \(\displaystyle c=\frac{56}{\sqrt{74}}\).

Ekkor \(\displaystyle V=\frac{2240}{\sqrt{74}}\) és \(\displaystyle A=\frac{9344}{37}\).

Mindkét esetben visszahelyettesítve a feladat feltételei teljesülnek.

Azaz a téglatest térfogata és felszíne \(\displaystyle V=280\) és \(\displaystyle A=262\) vagy \(\displaystyle V=\frac{2240}{\sqrt{74}}\) és \(\displaystyle A=\frac{9344}{37}\).

Statistics:

162 students sent a solution.
5 points:	109 students.
4 points:	14 students.
3 points:	16 students.
2 points:	14 students.
1 point:	6 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2020