Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1607. feladat (2020. április)

C. 1607. A 4 és a 9 közé leírunk néhány 4-est, majd mellé még ugyanannyi 8-ast (például 4489). Bizonyítsuk be, hogy az így kapott szám négyzetszám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a 4-es és 9-es közé írt 4-esek száma \(\displaystyle k\) (ekkor a 8-asok száma is \(\displaystyle k\)). Ekkor

\(\displaystyle 44\dots 48\dots 89= 44\dots 48\dots 88+1=4 \cdot \frac{10^{k+1}-1}{9} \cdot 10^{k+1} + 8 \cdot \frac{10^{k+1}-1}{9} +1,\)

hiszen \(\displaystyle \frac{10^{k+1}-1}{9}=11\dots 1\) a \(\displaystyle k+1\) darab 1-es egymás mellé írásával keletkező szám.

Legyen \(\displaystyle a:= 10^{k+1}\), ekkor a fenti kifejezés a következő módon írható fel:

\(\displaystyle \frac{4a^2-4a+8a-8+9}{9}= \frac{4a^2+4a+1}{9}= \left(\frac{2a+1}{3}\right)^2= \left(\frac{2 \cdot 10^{k+1}+1}{3}\right)^2.\)

A zárójelben levő szám egész, hiszen a számlálónak 0 a 3-as maradéka (\(\displaystyle 2 \cdot 10^{k+1}\)-nek 2 a 3-as maradéka, és ehhez adunk 1-et).

Azaz megmutattuk, hogy \(\displaystyle 44\dots 48\dots 89\) négyzetszám, méghozzá \(\displaystyle \frac{2 \cdot 10^{k+1}+1}{3}\)-nek a négyzete (ha \(\displaystyle k-k\) darab 4-est, illetve 8-ast írtunk be).


Statisztika:

A C. 1607. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai