Problem C. 1607. (April 2020)

C. 1607. Between 4 and 9, some digits of 4 are inserted, followed by the same number of digits of 8 (e.g. 4489). Prove that the resulting number is a perfect square.

(5 pont)

Deadline expired on May 11, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a 4-es és 9-es közé írt 4-esek száma \(\displaystyle k\) (ekkor a 8-asok száma is \(\displaystyle k\)). Ekkor

\(\displaystyle 44\dots 48\dots 89= 44\dots 48\dots 88+1=4 \cdot \frac{10^{k+1}-1}{9} \cdot 10^{k+1} + 8 \cdot \frac{10^{k+1}-1}{9} +1,\)

hiszen \(\displaystyle \frac{10^{k+1}-1}{9}=11\dots 1\) a \(\displaystyle k+1\) darab 1-es egymás mellé írásával keletkező szám.

Legyen \(\displaystyle a:= 10^{k+1}\), ekkor a fenti kifejezés a következő módon írható fel:

\(\displaystyle \frac{4a^2-4a+8a-8+9}{9}= \frac{4a^2+4a+1}{9}= \left(\frac{2a+1}{3}\right)^2= \left(\frac{2 \cdot 10^{k+1}+1}{3}\right)^2.\)

A zárójelben levő szám egész, hiszen a számlálónak 0 a 3-as maradéka (\(\displaystyle 2 \cdot 10^{k+1}\)-nek 2 a 3-as maradéka, és ehhez adunk 1-et).

Azaz megmutattuk, hogy \(\displaystyle 44\dots 48\dots 89\) négyzetszám, méghozzá \(\displaystyle \frac{2 \cdot 10^{k+1}+1}{3}\)-nek a négyzete (ha \(\displaystyle k-k\) darab 4-est, illetve 8-ast írtunk be).

Statistics:

34 students sent a solution.
5 points:	Amamou Martin, Andó Lujza, Arató Zita, Biró 424 Ádám, Fekete András Albert, Hajdú Bálint, Kalabay László, Kelemen Anna, Lukács Emma, Molnár Réka, Nagy 009 Dávid, Palencsár Enikő, Rátki Gergely, Schneider Anna, Tóth Lilla Eszter , Vakaris Klyvis, Viharos Márta Judit.
4 points:	Bihari Petra, Bödő Lajos, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kis 194 Károly, Majerusz Ádám, Székelyhidi Klára, Zaránd Andris.
3 points:	4 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2020