Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1608. feladat (2020. április)

C. 1608. Jelmezbálra szeretnénk elkészíteni kartonból egy vietnámi kalapot. A kalap egy \(\displaystyle 97{,}18^\circ\) nyílásszögű egyenes körkúp, amelynek alkotója 28 cm hosszú. Elkészíthető-e egy ilyen méretű kalap a kereskedelemben kapható \(\displaystyle 50\times 70\) cm-es kartonpapírból?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A kúp alapkörének sugara legyen \(\displaystyle r\), annak középpontja \(\displaystyle O\), a kúp csúcsa \(\displaystyle C\). Vágjuk el a kúpot egy alapkörre merőleges \(\displaystyle O\)-n átmenő síkkal, ekkor síkmetszetként az ábrán látható háromszöget kapjuk.

Nézzük az \(\displaystyle AOC\) háromszöget: ez egy derékszögű háromszög, \(\displaystyle C\)-nél levő szögének nagysága a kúp nyílásszögének fele (\(\displaystyle 48,59^{\circ}\)), az \(\displaystyle AC\) átfogó hossza 28 cm. Ebből

\(\displaystyle r=28 \sin 48,59^{\circ} \approx 21.\)

Most nézzük a kalapot kiterítve: Ez egy körcikk, aminek sugara a kúp alkotója, azaz 28 cm. A körív hossza a kúp alapkörének kerületével egyenlő, ami \(\displaystyle 2r\pi \approx 131,95\). A teljes kerülete egy 28 cm sugarú körnek \(\displaystyle 2 \cdot 28 \pi \approx 175,93\), ehhez tartozik a \(\displaystyle 360^{\circ}\)-os középponti szög. A körív hosszának és az imént kiszámolt kerületnek az aránya megadja az \(\displaystyle \alpha\) középponti szög nagyságát:

\(\displaystyle \alpha=\frac{2r\pi}{2 \cdot 28 \pi}\cdot 360^{\circ} \approx 270^{\circ}. \)

Ekkor a kimaradó szög nagysága \(\displaystyle ECF\sphericalangle=360^\circ-\alpha\approx 90^{\circ}\). Vegyük ennek a szögnek a szögfelezőjét, ahol ez metszi \(\displaystyle EF\) szakaszt, az a pont legyen \(\displaystyle T\). \(\displaystyle T\)-nél derékszög van, hiszen a \(\displaystyle CEF\) háromszög egyenlő szárú, ahol a szögfelező magasság is egyben. Ekkor

\(\displaystyle TC= 28\cos(ECT\sphericalangle)=28\cos\left(\frac{ECF\sphericalangle}{2}\right)= 28\cos45^{\circ} \approx 19,8.\)

Tehát a körcikk \(\displaystyle EF\) irányában 56 cm-es (\(\displaystyle EF\) irányában a szélesség épp az átmérő), a rá merőleges irányban pedig

\(\displaystyle 28+CT\approx 47,8\)

cm-es a kiterített kalapunk. Azaz, ha például úgy helyezzük el, hogy \(\displaystyle EF\) illeszkedik a karton egyik 70 cm-es oldalára, és \(\displaystyle T\) az adott oldal felezőpontjába kerül, akkor ráfér, hiszen \(\displaystyle 28+CT<50\). Így elkészíthető a téglalapból a kalap.


Statisztika:

A C. 1608. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. áprilisi matematika feladatai