Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1609. feladat (2020. május)

C. 1609. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:

$$\begin{align*} x+y+\frac xy & =19,\\ \frac{x(x+y)}{y} & =60. \end{align*}$$

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen \(\displaystyle x+y=:a\) és \(\displaystyle \frac xy=:b\) (\(\displaystyle y \neq 0\)). Ekkor az egyenletrendszerünk az alábbi módon írható fel:

\(\displaystyle a+b=19,\)

\(\displaystyle ab=60.\)

Ebből a következő másodfokú egyenletnek a gyökei \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\):

\(\displaystyle z^2-19z+60=0.\)

A másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján a gyökök 4 és 15. Azaz

1. eset: \(\displaystyle a=4, b=15\)
Ekkor \(\displaystyle x+y=4\), amiből \(\displaystyle y=4-x.\) Továbbá \(\displaystyle \frac xy=15\), ahova behelyettesítve az előbbi \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) közti összefüggést kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{x}{4-x}=15,\)

átszorozva és rendezve

\(\displaystyle x=\frac{15}{4}.\)

Visszahelyettesítve

\(\displaystyle y=\frac14.\)

2. eset: \(\displaystyle a=15, b=4\)
Ekkor \(\displaystyle x+y=15\), amiből \(\displaystyle y=15-x.\) Továbbá \(\displaystyle \frac xy=4\), ahova behelyettesítve az előbbi \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) közti összefüggést kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{x}{15-x}=4,\)

átszorozva és rendezve

\(\displaystyle x=12.\)

Visszahelyettesítve

\(\displaystyle y=3.\)

Ezeket a számpárokat visszahelyettesítve teljesül az eredeti egyenletrendszer.

Tehát a következő \(\displaystyle (x,y)\) számpárok a megoldásai az egyenletrendszernek: \(\displaystyle (\frac{15}{4}, \frac14)\) és \(\displaystyle (12,3)\).


Statisztika:

71 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:61 versenyző.
4 pontot kapott:2 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2020. májusi matematika feladatai