Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1609. (May 2020)

C. 1609. Solve the following simultaneous equations over the set of real numbers:

$$\begin{align*} x+y+\frac xy & =19,\\ \frac{x(x+y)}{y} & =60. \end{align*}$$

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle x+y=:a\) és \(\displaystyle \frac xy=:b\) (\(\displaystyle y \neq 0\)). Ekkor az egyenletrendszerünk az alábbi módon írható fel:

\(\displaystyle a+b=19,\)

\(\displaystyle ab=60.\)

Ebből a következő másodfokú egyenletnek a gyökei \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\):

\(\displaystyle z^2-19z+60=0.\)

A másodfokú egyenlet megoldóképlete alapján a gyökök 4 és 15. Azaz

1. eset: \(\displaystyle a=4, b=15\)
Ekkor \(\displaystyle x+y=4\), amiből \(\displaystyle y=4-x.\) Továbbá \(\displaystyle \frac xy=15\), ahova behelyettesítve az előbbi \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) közti összefüggést kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{x}{4-x}=15,\)

átszorozva és rendezve

\(\displaystyle x=\frac{15}{4}.\)

Visszahelyettesítve

\(\displaystyle y=\frac14.\)

2. eset: \(\displaystyle a=15, b=4\)
Ekkor \(\displaystyle x+y=15\), amiből \(\displaystyle y=15-x.\) Továbbá \(\displaystyle \frac xy=4\), ahova behelyettesítve az előbbi \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) közti összefüggést kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{x}{15-x}=4,\)

átszorozva és rendezve

\(\displaystyle x=12.\)

Visszahelyettesítve

\(\displaystyle y=3.\)

Ezeket a számpárokat visszahelyettesítve teljesül az eredeti egyenletrendszer.

Tehát a következő \(\displaystyle (x,y)\) számpárok a megoldásai az egyenletrendszernek: \(\displaystyle (\frac{15}{4}, \frac14)\) és \(\displaystyle (12,3)\).


Statistics:

71 students sent a solution.
5 points:61 students.
4 points:2 students.
3 points:2 students.
2 points:4 students.
1 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2020