Problem C. 1610. (May 2020)

C. 1610. In a unit circle, the diameter \(\displaystyle AB\) and the chord \(\displaystyle AC\) enclose a \(\displaystyle 30^\circ\) angle. Let \(\displaystyle B'\) denote the reflection of \(\displaystyle B\) about the point \(\displaystyle C\). Determine the distances between \(\displaystyle B\) and the points where the tangents drawn from \(\displaystyle B'\) to the circle intersect the line \(\displaystyle AB\).

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a \(\displaystyle B'\) pontból húzott érintők érintési pontjai \(\displaystyle E,F\), és ezen érintők \(\displaystyle AB\) egyenessel vett metszéspontjai \(\displaystyle M, N\) az ábrán látható módon.

Először vegyük észre, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög derékszögű, \(\displaystyle C\)-nél van a derékszög, a Thalész-tétel miatt. (Így \(\displaystyle ABC \angle = 60^{\circ} \).)

Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle B'\)-re úgy is gondolhatunk, mint a \(\displaystyle B\) pont \(\displaystyle AC\) egyenesre vonatkozó tengelyes tükörképére.

Az \(\displaystyle ABB'\) háromszög 2 egység oldalú szabályos háromszög, hiszen \(\displaystyle AB=AB'=2\) és \(\displaystyle BAB' \angle = 60^{\circ}\) a tükrözés miatt. \(\displaystyle OB'\) súlyvonal ebben a szabályos háromszögben, ami egyben magasságvonal is, azaz az \(\displaystyle AOB'\) szög derékszög. Ebből adódik, hogy az egész ábra szimmetrikus az \(\displaystyle OB'\) egyenesre.

Az \(\displaystyle AOB'\) háromszögben alkalmazva a Pitagorasz-tételt kapjuk, hogy \(\displaystyle OB'= \sqrt{2^2-1^2}= \sqrt3\).

A kör középpontjából, \(\displaystyle O\)-ból az \(\displaystyle E\) érintési ponthoz húzott sugár merőleges az érintőre, ezért az \(\displaystyle OEB'\) szög derékszög. Az \(\displaystyle OB'E\) derékszögű háromszögben alkalmazva a Pitagorasz-tételt kapjuk, hogy \(\displaystyle B'E= \sqrt2\).

Az \(\displaystyle OEB'\) és \(\displaystyle MOB'\) háromszögek hasonlók, mert szögeik páronként egyenlők, hiszen \(\displaystyle B'\)-nél levő szögük közös és van egy-egy derékszögük. Ekkor a megfelelő oldalak arányából

\(\displaystyle \frac{OM}{OB'}=\frac{EO}{EB'},\)

ahova behelyettesítve a fent kapottakat:

\(\displaystyle \frac{OM}{\sqrt3}= \frac{1}{\sqrt2};\qquad OM= \sqrt{\frac32}.\)

Innen

\(\displaystyle BM= \sqrt{\frac32} + 1\)

és

\(\displaystyle BN= \sqrt{\frac32} - 1.\)

Tehát a metszéspontok \(\displaystyle B\)-től való távolsága \(\displaystyle \sqrt{\frac32} + 1\) és \(\displaystyle \sqrt{\frac32} - 1\).

Statistics:

54 students sent a solution.
5 points:	Baksay Réka, Csilling Dániel, Csonka Illés, Deák Gergely, Domján Olivér, Feczkó Nóra, Foris Dávid, Hajós Balázs, Horváth Milán, Kalocsai Zoltán, Kovács Benedek Noel, Lőw László, Márky Anna, Mészáros Anna Veronika, Nagy 429 Leila, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Perényi Lídia , Pesti Patrik, Richlik Bence, Sebestyén József Tas, Szabó 423 Ágnes, Szabó Réka, Szabó Zóra, Szakács Domonkos, Szalanics Tamás, Szamkó Szabolcs, Szittyai Anna, Téglás Panna, Varga Boldizsár.
4 points:	Bana Marcell, Cserkuti Sándor, Dózsa Levente, Fekete Patrik, Inokai Dávid, Király Előd István, Nagy 989 Lea, Schiller Bence, Sipeki Márton, Szepesi Dorina, Veres Dorottya.
3 points:	5 students.
2 points:	2 students.
1 point:	3 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2020