Problem C. 1613. (May 2020)

C. 1613. There were \(\displaystyle n\) teams participating in a basketball championship. Every team played every other team exactly once, and there was no draw. At the end of the championship, the \(\displaystyle i\)th team had \(\displaystyle x_i\) games won and \(\displaystyle y_i\) games lost (\(\displaystyle i=1,2,\ldots,n\)). Prove that

\(\displaystyle x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2. \)

(Croatian problem)

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Minden csapat \(\displaystyle n-1\) mérkőzést játszott, így ha az \(\displaystyle i\)-edik csapatnak \(\displaystyle x_i\) győzelme volt, és nem volt döntetlen, akkor a vereségei száma \(\displaystyle y_i=(n-1)-x_i\) (\(\displaystyle i=1,2,...,n\)). Így

\(\displaystyle y_1^2+y_2^2+...+y_n^2=[(n-1)-x_1]^2+ [(n-1)-x_2]^2+ \dots +[(n-1)-x_n]^2=\)

\(\displaystyle =n (n-1)^2 - 2(n-1)(x_1+x_2+ \cdots +x_n) + (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2).\)

Az összes mérkőzések száma egyrészt \(\displaystyle n(n-1)/2\), hiszen mind az \(\displaystyle n\) csapat mind az \(\displaystyle n-1\) másik csapattal játszik, de így mindegyik mérkőzést 2-szer számoljuk. Másrészt a mérkőzések száma az összes győzelmek száma, hiszen nincsen döntetlen, azaz \(\displaystyle x_1+x_2+ \cdots +x_n=n(n-1)/2.\) Ezt felhasználva

\(\displaystyle n (n-1)^2 - 2(n-1)(x_1+x_2+ \cdots +x_n) + (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)= \)

\(\displaystyle =n (n-1)^2 - 2(n-1)\cdot \frac{n(n-1)}{2}+x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=\)

\(\displaystyle =x_1^2+x_2^2+...+x_n^2. \)

Azaz

\(\displaystyle y_1^2+y_2^2+...+y_n^2= x_1^2+x_2^2+...+x_n^2,\)

tehát igazoltuk az állítást.

Statistics:

75 students sent a solution.
5 points:	Albert Ákos, Arató Zita, Barát Benedek, Biró 424 Ádám, Cserkuti Sándor, Csonka Illés, Deák Gergely, Dékány Csaba, Domján Olivér, Feczkó Nóra, Féger Tamás, Fekete András Albert, Fekete Patrik, Foris Dávid, Hajdú Bálint, Hajós Balázs, Halász Henrik, Horváth Milán, Kadem Aziz, Kalabay László, Kis 194 Károly, Klepáček László, Kovács Benedek Noel, Lőw László, Majerusz Ádám, Molnár Réka, Nagy 009 Dávid, Nagy 989 Lea, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Palencsár Enikő, Perényi Lídia , Pesti Patrik, Schneider Anna, Sebestyén József Tas, Somogyi Dalma, Stein Felix, Szabó 423 Ágnes, Szabó Csege, Szabó Réka, Szabó Zóra, Szakács Domonkos, Szalanics Tamás, Szamkó Szabolcs, Szigeti Donát, Szittyai Anna, Téglás Panna, Vakaris Klyvis, Veres Dorottya, Zaránd Andris.
4 points:	11 students.
3 points:	7 students.
2 points:	1 student.
1 point:	5 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2020