Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1614. feladat (2020. május)

C. 1614. Egy 30 cm sugarú kör alakú tálca szélén elhelyezünk 12 darab 9 cm átmérőjű, felülről kör alakú muffint úgy, hogy a tálca szélét érintik, és a szomszédosak egyenlő távolságra helyezkednek el egymástól. Mekkora ez a távolság?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen \(\displaystyle O\) a kör kör alakú tálca középpontja, \(\displaystyle O_1, O_2, \dots, O_{12}\) pedig rendre a muffinok középpontja.

Ekkor \(\displaystyle O_1, O_2, \dots, O_{12}\) rajta vannak egy \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle 25,5\) cm sugarú körön (\(\displaystyle 30-4,5=25,5\)). Mivel bármely két szomszédos muffin egyenlő távol helyezkedik el egymástól (ez legyen \(\displaystyle x\)). Így elég egy párt vizsgálnunk, legyenek ezek azok, amiknek középpontja \(\displaystyle O_1\) és \(\displaystyle O_2\). Ezek távolsága az ábra jelöléseit használva \(\displaystyle E_1E_2=x\).

Ekkor \(\displaystyle O_1O_2=x+2\cdot4,5\), és ez bármely két szomszédos muffin pár középpontjára igaz, azaz az \(\displaystyle OO_iO_j\) háromszögek egybevágóak (ahol \(\displaystyle O_i, O_j\) szomszédos muffin középpontok), mert megfelelő oldalaik egyenlő hosszúak. Így az \(\displaystyle O\)-nál levő szögeik egyenlő nagyságúak. Tehát \(\displaystyle O_1OO_2\angle= 360^{\circ}/12= 30^{\circ}\). Mivel az \(\displaystyle O_1O_2O\) háromszög egyenlő szárú, ezért alapon fekvő szögei egyenlő nagyságúak, \(\displaystyle (180^\circ-30^\circ)/2=75^{\circ}\)-osak.

Ekkor a szinusztételt alkalmazva erre a háromszögre, kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{O_1O_2}{OO_1}= \frac{ \sin 30^{\circ}}{\sin 75^{\circ}},\)

\(\displaystyle O_1O_2= \frac{ \sin 30^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} \cdot 25,5 \approx 13,2.\)

Ebből

\(\displaystyle E_1E_2= O_1O_2- 2 \cdot 4,5 \approx 4,2.\)

Tehát a szomszédos muffinok körülbelül \(\displaystyle 4,2\) cm távolságra vannak egymástól.

Megjegyzés. A szinusztétel alkalmazása helyett behúzhatjuk az \(\displaystyle OO_1O_2\) egyenlő szárú hászomszög \(\displaystyle O\)-ból induló magasságát, ezzel két derékszögű háromszögre bontva azt. Az így kapott derékszögű háromszögben a koszinusz definíciója alapján:

\(\displaystyle O_1O_2/2=OO_1\cdot \cos 75^\circ\approx 6,6,\)

innen a megoldás ugyanúgy fejezhető be.


Statisztika:

A C. 1614. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. májusi matematika feladatai