Problem C. 1614. (May 2020)

C. 1614. 12 round muffins of diameter 9 cm are arranged along the edge of a round tray of radius 30 cm such that they all touch the edge of the tray, and the neighboring muffins are separated by the same distance from each other. What is this equal distance?

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle O\) a kör kör alakú tálca középpontja, \(\displaystyle O_1, O_2, \dots, O_{12}\) pedig rendre a muffinok középpontja.

Ekkor \(\displaystyle O_1, O_2, \dots, O_{12}\) rajta vannak egy \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle 25,5\) cm sugarú körön (\(\displaystyle 30-4,5=25,5\)). Mivel bármely két szomszédos muffin egyenlő távol helyezkedik el egymástól (ez legyen \(\displaystyle x\)). Így elég egy párt vizsgálnunk, legyenek ezek azok, amiknek középpontja \(\displaystyle O_1\) és \(\displaystyle O_2\). Ezek távolsága az ábra jelöléseit használva \(\displaystyle E_1E_2=x\).

Ekkor \(\displaystyle O_1O_2=x+2\cdot4,5\), és ez bármely két szomszédos muffin pár középpontjára igaz, azaz az \(\displaystyle OO_iO_j\) háromszögek egybevágóak (ahol \(\displaystyle O_i, O_j\) szomszédos muffin középpontok), mert megfelelő oldalaik egyenlő hosszúak. Így az \(\displaystyle O\)-nál levő szögeik egyenlő nagyságúak. Tehát \(\displaystyle O_1OO_2\angle= 360^{\circ}/12= 30^{\circ}\). Mivel az \(\displaystyle O_1O_2O\) háromszög egyenlő szárú, ezért alapon fekvő szögei egyenlő nagyságúak, \(\displaystyle (180^\circ-30^\circ)/2=75^{\circ}\)-osak.

Ekkor a szinusztételt alkalmazva erre a háromszögre, kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{O_1O_2}{OO_1}= \frac{ \sin 30^{\circ}}{\sin 75^{\circ}},\)

\(\displaystyle O_1O_2= \frac{ \sin 30^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} \cdot 25,5 \approx 13,2.\)

Ebből

\(\displaystyle E_1E_2= O_1O_2- 2 \cdot 4,5 \approx 4,2.\)

Tehát a szomszédos muffinok körülbelül \(\displaystyle 4,2\) cm távolságra vannak egymástól.

Megjegyzés. A szinusztétel alkalmazása helyett behúzhatjuk az \(\displaystyle OO_1O_2\) egyenlő szárú hászomszög \(\displaystyle O\)-ból induló magasságát, ezzel két derékszögű háromszögre bontva azt. Az így kapott derékszögű háromszögben a koszinusz definíciója alapján:

\(\displaystyle O_1O_2/2=OO_1\cdot \cos 75^\circ\approx 6,6,\)

innen a megoldás ugyanúgy fejezhető be.

Statistics:

38 students sent a solution.
5 points:	Antal Virág Anna, Arató Zita, Bihari Petra, Biró 424 Ádám, Fekete András Albert, Gömbös Imola, Hajdú Bálint, Hodosi Rozi, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kalabay László, Kelemen Anna, Kis 194 Károly, Molnár Réka, Németh Kristóf, Nyári Péter Ádám, Palencsár Enikő, Rátki Gergely, Schneider Anna, Sümegi Géza, Szabó Csege, Vakaris Klyvis, Zaránd Andris.
4 points:	Ámmer Fanni, Andó Lujza, Buzás Bence István, Dormán Mihály Vilmos, Féger Tamás, Kulcsár Kevin, Majerusz Ádám, Tóth Lilla Eszter , Viharos Márta Judit.
3 points:	4 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2020