Problem C. 1621. (September 2020)

C. 1621. The lengths of the sides of a trapezoid circumscribed about a circle are integers that are consecutive terms of an arithmetic progression in some order. Given that the radius of the incircle and the length of the shorter base are both 6, how long are the other three sides?

Proposed by L. Németh, Fonyód

(5 pont)

Deadline expired on October 12, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás.

Használjuk az ábra jelöléseit: a kérdéses érintőtrapéz \(\displaystyle ABCD\), a rövidebbik alapjának hossza: \(\displaystyle AB=a=6\). A másik három oldal hossza:

\(\displaystyle BC=b,CD=c,DA=d.\)

Legyen továbbá az \(\displaystyle E\) pont a \(\displaystyle CD\) oldal és az \(\displaystyle A\)-n keresztül \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamos egyenes metszéspontja. Ekkor \(\displaystyle ABCE\) paralelogramma. (Megjegyezzük, hogy hasonló ötletre alapult a C.1565. feladat egyik megoldása is.)

Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög pontosan akkor érintőnégyszög, ha \(\displaystyle a+c=b+d\). A feltételek alapján \(\displaystyle a< c\), hiszen \(\displaystyle AB\) a rövidebbik alap. Az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) egyenesek távolsága éppen a beírható kör átmérője, vagyis \(\displaystyle 2r=12\), így \(\displaystyle 12\leq b,d\). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle a,b,c,d\) közül \(\displaystyle a\) értéke a legkisebb, így szükségképpen \(\displaystyle c\) értéke a legnagyobb, hiszen különben \(\displaystyle a+c=b+d\) nem teljesülne. A szárak közötti logikai szimmetria alapján feltehető, hogy \(\displaystyle b\leq d\), ekkor a feltétel alapján \(\displaystyle a, b, d, c\) számtani sorozatot alkot (ebben a sorrendben). A számtani sorozat differenciáját jelölje \(\displaystyle \Delta\). Ekkor \(\displaystyle b=a+\Delta\), \(\displaystyle d=a+2\Delta\), \(\displaystyle c=a+3\Delta\).

Mivel az \(\displaystyle ABCE\) négyszög paralelogramma, ezért

\(\displaystyle AB=CE=a\)

és

\(\displaystyle BC=AE=b=a+\Delta.\)

Így az \(\displaystyle AED\) háromszög oldalainak hossza:

\(\displaystyle AE=a+\Delta,\quad ED=CD-CE=3\Delta,\quad AD=a+2\Delta.\)

Az \(\displaystyle AED\) háromszögben az \(\displaystyle A\)-hoz tartozó magasságvonal hossza egyben \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) távolsága, vagyis 12, így mivel a háromszög területe a \(\displaystyle DE\) alap és az ehhez tartozó magasság szorzatának fele, ezért:

\(\displaystyle T_{AED}=\frac{3\Delta\cdot 12}{2}=18\Delta.\)

Ugyanakkor a területet a Héron-képlettel is megkaphatjuk, a félkerület \(\displaystyle \frac{(a+\Delta)+(a+2\Delta)+3\Delta}{2}=a+3\Delta\):

\(\displaystyle T_{AED}=\sqrt{(a+3\Delta)(2\Delta)\Delta a}.\)

Innen az alábbi ekvivalens átalakításokkal kaphatjuk \(\displaystyle \Delta\) értékét:

\(\displaystyle 18\Delta=\sqrt{(a+3\Delta)(2\Delta)\Delta a},\)

\(\displaystyle 18^2\Delta^2=(a+3\Delta)(2\Delta)\Delta a,\)

\(\displaystyle 162=a(a+3\Delta),\)

\(\displaystyle 162=6(6+3\Delta),\)

\(\displaystyle 27=6+3\Delta,\)

\(\displaystyle 7=\Delta.\)

Ezzel megmutattuk, hogy a feltételeket kielégítő trapéz másik három oldalának hossza 13, 20, 27 (ez a másik alap).

A gondolatmenet megfordításával látható, hogy ez a négyszög valóban megfelel a feltételeknek. Ha úgy szerkesztjük meg, hogy először az \(\displaystyle AED\) háromszöget vesszük fel (\(\displaystyle AE=13\), \(\displaystyle ED=21\), \(\displaystyle AD=20\) teljesíti a háromszög-egyenlőtlenségeket), akkor a fenti számolás alapján \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle DE\) távolsága éppen 12 lesz. Ha most \(\displaystyle DE\)-t meghosszabbítjuk \(\displaystyle E\) felé 6-tal, kapva a \(\displaystyle C\) pontot, majd \(\displaystyle A\)-t \(\displaystyle \overrightarrow{EC}\)-ral eltolva felvesszük \(\displaystyle B\)-t, akkor világos, hogy \(\displaystyle ABCD\) egy olyan trapéz, amelynek \(\displaystyle AB\) a rövidebb alapja, és hossza \(\displaystyle AB=6\). Mivel \(\displaystyle 6+27=13+20\), így a kapott \(\displaystyle ABCD\) trapéz érintőtrapéz. Mivel \(\displaystyle A\) távolsága \(\displaystyle ED\)-től 12, így a beírható kör sugara \(\displaystyle 12/2=6\). Végül, a \(\displaystyle 6, 13, 20, 27\) számok egészek, így az összes feltétel teljesül.

Megjegyzés. Az oldalak hosszának meghatározásához azt a feltételt, hogy az oldalak egész hosszúságúak nem használtuk.

2. megoldás. Az érintőtrapéz speciálisan lehet rombusz is, hiszen az oldalak hossza ekkor konstans sorozatot alkot, ami egy 0 differenciájú számtani sorozat. Ebben az esetben a rombusz oldalai mind 6 egység hosszúak, azonban ekkor nincsen "rövidebbik" alapja. Ezért a trapéz nem lehet rombusz.

Az érintőtrapéz legrövidebb oldalának hosszát jelöljük \(\displaystyle a\)-val, az oldalhosszak alkotta számtani sorozat differenciáját pedig \(\displaystyle d\)-vel: az oldalhosszak nagyságsorrendben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle a+d\), \(\displaystyle a+2d\) és \(\displaystyle a+3d\). Egy négyszög pontosan akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalhosszainak összege megegyezik. Ez esetünkben csak az \(\displaystyle a+(a+3d)=(a+d)+(a+2d)\) esetben lehetséges. Tehát a legrövidebb és leghosszabb oldal egymással szemközti: vagy a két alap vagy a két szár.

A trapézba írt kör átmérője egyben a trapéz magassága is, ezért a szárak hossza legalább 12. Mivel az egyik alap hossza 6, ezért csak az lehet a legrövidebb oldal, így a másik alap a leghosszabb.

Daraboljuk fel a trapézt az \(\displaystyle ABCE\) paralelogrammára és az \(\displaystyle AED\) háromszögre az ábra szerint. A háromszög oldalainak hossza ekkor \(\displaystyle 3d\) és a két szár hossza: \(\displaystyle a+d\) és \(\displaystyle a+2d\). Az \(\displaystyle ED\) oldalhoz tartozó 12 egység hosszú magasság az \(\displaystyle ED\) szakaszt \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle 3d-x\) hosszúságú darabokra osztja.

A trapéz ábrán behúzott magassága két derékszögű háromszögnek is a befogója, így a Pitagorasz-tétellel kétféleképpen is felírható:

\(\displaystyle 12^2=(6+d)^2-x^2=(6+2d)^2-(3d-x)^2,\)

\(\displaystyle 36+12d+d^2=36+24d+4d^2-9d^2+6dx-x^2,\)

\(\displaystyle 6d^2-12d=6dx.\)

Mivel \(\displaystyle d\neq0\), ebből

\(\displaystyle 6d-12=6x,\)

\(\displaystyle d-2=x.\)

Felírva az egyszerűbb Pitagorasz-tételt ennek segítségével adódik, hogy:

\(\displaystyle 12^2=(6+d)^2-(d-2)^2,\)

\(\displaystyle 144=36+12d+d^2-d^2+4d-4,\)

\(\displaystyle 112=16d,\)

\(\displaystyle d=7.\)

Tehát a trapéz másik három oldalának hossza: 13, 20 és 27.

Ilyen trapéz valóban létezik, hiszen az \(\displaystyle AED\) háromszög \(\displaystyle ED\)-hez tartozó magasságának talppontját \(\displaystyle T\)-vel jelölve az \(\displaystyle ATE\) és \(\displaystyle ATD\) háromszögek egyértelműen szerkeszthetők, a \(\displaystyle DE\) félegyenes \(\displaystyle E\)-n túli meghosszabbítására 6 egységet felmérve a \(\displaystyle C\) pontot is megkapjuk, végül az \(\displaystyle AECB\) paralelogrammát megszerkesztve megkapjuk a \(\displaystyle B\) csúcsot. A szerkesztés miatt az oldalak hossza éppen a szükséges, \(\displaystyle AB||CD\), így a kapott négyszög érintőtrapéz, mely beírt körének sugara a magasság fele, azaz 6; és rövidebbik alapja szintén 6.

Statistics:

69 students sent a solution.
5 points:	Baksay Réka, Balázs Réka, Biró 424 Ádám, Csóka Roland, Dobi Dorina Lili, Egyházi Hanna, Irimiás Márk, Kadem Aziz, Kelemen Anna, Molnár Réka, Németh László Csaba, Schneider Anna, Szalanics Tamás, Szirmai Dénes, Téglás Panna, Varga 601 Zalán, Xu Yiling.
4 points:	Andó Lujza, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Golarits Botond, Horváth 828 Mátyás, Horváth Antal, Kiss 888 Gergely, Kosóczki Balázs, Mihalik Bálint, Németh Kristóf, Németh Máté Előd, Szakos Máté Antal.
3 points:	19 students.
2 points:	8 students.
1 point:	8 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020