Problem C. 1622. (September 2020)
C. 1622. Prove that the area bounded by the graphs of the functions \(\displaystyle y=1-|x-1|\) and \(\displaystyle y=|2x-a|\) is less than \(\displaystyle \frac13\) for \(\displaystyle 1<a<2\).
(Croatian problem)
(5 pont)
Deadline expired on October 12, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Vezessük be az alábbi jelöléseket:
\(\displaystyle O=(0;0),\quad A=(a/2;0),\quad D=(2;0),\quad E=(1;1).\)
Az \(\displaystyle y=1-|x-1|\) függvény grafikonjára illeszkednek az \(\displaystyle O,D,E\) pontok, a grafikon az \(\displaystyle [1,\infty)\) intervallumon egy \(\displaystyle -1\) meredekségű félegyenes, a \(\displaystyle (-\infty,1]\) intervallumon pedig az 1 meredekségű félegyenes. (A két félegyenes \(\displaystyle E\)-ben csatlakozik egymáshoz.) Az \(\displaystyle y=|2x-a|\) függvény átmegy az \(\displaystyle A\) ponton, és a grafikon az \(\displaystyle [a/2,\infty)\) intervallumon egy \(\displaystyle 2\) meredekségű félegyenes, a \(\displaystyle (-\infty,a/2]\) intervallumon pedig egy \(\displaystyle -2\) meredekségű félegyenes. (A két félegyenes \(\displaystyle A\)-ban csatlakozik egymáshoz.)
Mivel \(\displaystyle 1<a<2\), ezért \(\displaystyle A\) az \(\displaystyle NF\) szakasz belső pontja, ahol \(\displaystyle N=(1/2;0)\) az \(\displaystyle OD\) szakasz \(\displaystyle O\)-hoz közelebbi negyedelőpontja, \(\displaystyle F=(1;0)\) pedig az \(\displaystyle OD\) szakasz felezőpontja. A két grafikon metszéspontjait jelölje \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) az ábra szerint. Mivel \(\displaystyle B\) illeszkedik az \(\displaystyle OE\) szakaszra, ezért \(\displaystyle B=(b;b)\), ahol \(\displaystyle 0<b<1\). Másrészt \(\displaystyle B\)-nek a másik grafikonra is illeszkednie kell, ezért \(\displaystyle b=|2b-a|\). Mivel \(\displaystyle b<a/2\), ezért \(\displaystyle b=|2b-a|=a-2b\) alapján \(\displaystyle b=a/3\). Tehát \(\displaystyle B=(a/3;a/3).\)
Az \(\displaystyle NE\) egyenes meredeksége 2, vagyis \(\displaystyle NE\) és \(\displaystyle AC\) párhuzamosak. Ebből következik, hogy \(\displaystyle C\) az \(\displaystyle ED\) szakasz belső pontja. Legyenek \(\displaystyle C\) koordinátái \(\displaystyle C=(c;2-c)\), ahol \(\displaystyle 1<c<2\). (\(\displaystyle C\) koordinátái ilyen alakban megadhatók, hiszen illeszkedik \(\displaystyle ED\)-re.) Mivel \(\displaystyle C\) illeszkedik az \(\displaystyle y=|2x-a|\) grafikonjára és \(\displaystyle a/2<1<c\), ezért \(\displaystyle 2-c=2c-a\), amiből \(\displaystyle c=(2+a)/3\). Tehát \(\displaystyle C=((2+a)/3;(4-a)/3)\).
A két grafikon által közrezárt alakzat az \(\displaystyle ACEB\) négyszög, melynek területe
$$\begin{multline*}T_{ACEB}=T_{EDO}-T_{OAB}-T_{ADC}=\frac{2\cdot 1}{2}-\frac{(a/2)\cdot (a/3)}{2}-\frac{(2-a/2)(4-a)/3}{2}= \\ = \frac{12-a^2-(4-a)^2}{12}=\frac{4-2(a-2)^2}{12}<\frac{4}{12}=\frac{1}{3}. \end{multline*}$$(Az \(\displaystyle EDO\), \(\displaystyle OAB\), \(\displaystyle ADC\) háromszögek mindegyikének területét az \(\displaystyle x\)-tengelyre eső alapjuk, és az ahhoz tartozó magasság szorzatának a feleként számoltuk ki.)
Az utolsó becslés azért teljesül, mert \(\displaystyle a\ne 2\), így \(\displaystyle (a-2)^2\) mindenképpen pozitív.
Ezzel igazoltuk a feladat állítását.
Statistics:
54 students sent a solution. 5 points: Andó Lujza, Dobi Dorina Lili, Egyházi Hanna, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Horváth 828 Mátyás, Irimiás Márk, Margaritisz Fanni, Molnár Réka, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Nyári Péter Ádám, Schneider Anna, Varga 601 Zalán. 4 points: Bana Marcell, Biró 424 Ádám, Dlauchy Miksa, Féger Tamás, Kelemen Anna, Mihalik Bálint, Szabó Csege, Szalanics Tamás, Szántó Marcell, Zaránd Andris. 3 points: 2 students. 2 points: 16 students. 1 point: 7 students. 0 point: 5 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2020