Problem C. 1623. (October 2020)

C. 1623. Let \(\displaystyle m\) be a positive integer. Show that

\(\displaystyle a)\) there exist three \(\displaystyle m\)-digit powers of 2;

\(\displaystyle b)\) there exist at most four \(\displaystyle m\)-digit powers of 2.

(Brazilian problem)

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle m=1\)-re az állítás teljesül, a továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle m\geq 2\).

Jelölje \(\displaystyle A_m\) a legkisebb legalább \(\displaystyle m\)-jegyű 2-hatványt (világos, hogy ilyen létezik). Mivel \(\displaystyle m\geq 2\), ezért \(\displaystyle \frac{A_m}{2}\) szintén 2-hatvány, ami ezek szerint \(\displaystyle m\)-nél kevesebb jegyű kell legyen, így \(\displaystyle A_m<2\cdot 10^{m-1}\). Ekkor viszont \(\displaystyle A_m<2A_m<4A_m<8\cdot 10^{m-1}<10^m\), így \(\displaystyle A_m,2A_m\) és \(\displaystyle 4A_m\) is \(\displaystyle m\)-jegyű 2-hatványok, ezzel a feladat a) részét igazoltuk.

Másrészről, mivel \(\displaystyle 10^{m-1}\leq A_m\), ezért \(\displaystyle 10^m\leq 10A_m<16A_m\), vagyis \(\displaystyle 16A_m\) már több, mint \(\displaystyle m\) jegyből áll, tehát a 2-hatványok közül csak \(\displaystyle A_m,2A_m,4A_m,8A_m\) lehetnek \(\displaystyle m\)-jegyűek, ezzel a b) részt is igazoltuk.

Statistics:

160 students sent a solution.
5 points:	69 students.
4 points:	25 students.
3 points:	17 students.
2 points:	16 students.
1 point:	10 students.
0 point:	12 students.
Unfair, not evaluated:	9 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020