Problem C. 1625. (October 2020)

C. 1625. Prove that every selection of five one-digit positive integers contains a few numbers whose sum is divisible by 10.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megjegyzés. A B. 4974. feladat megoldásához hasonlóan először tekintsük az

\(\displaystyle \{1,9\},\{2,8\},\{3,7\},\{4,6\}\)

párokat; ha ezek valamelyikének két eleme is az öt kiválasztott szám között van, akkor egy két tagú 10-et adó összeget kapunk, és készen vagyunk. A továbbiakban feltesszük, hogy mind a 4 párnak legfeljebb egy tagja van a számok között. Ekkor viszont az 5 biztosan köztük van, és valójában mind a 4 párnak pontosan az egyik eleme kell, hogy köztük legyen.

Feltehető, hogy az 1 ki lett választva (és a 9 nem). (Máskülönben hajtsuk végre az \(\displaystyle a\leftrightarrow 10-a\) cserét minden kiválasztott számra, ekkor 10-zel osztható összegekből továbbra is 10-zel osztható összegek lesznek, és megfordítva.)

Ha a 4 ki van választva, akkor \(\displaystyle 1+4+5=10\) miatt készen vagyunk, így feltehető, hogy a 6 van kiválasztva.

Ha a 3 ki van választva, akkor \(\displaystyle 1+3+6=10\) alapján készen vagyunk, így feltehető, hogy a 7 van kiválasztva.

Az eddigiek alapján az az eset van hátra, amikor \(\displaystyle \{1,5,6,7\}\) elemei mind ki vannak választva. Mivel \(\displaystyle 2+5+6+7=20\) és \(\displaystyle 5+7+8=20\), ezért akár a 2, akár a 8 a hiányzó kiválasztott szám, mindenképpen kapunk 10-zel osztható összeget.

Megjegyzés. Az állítás éles: öt helyett négy számmal már nem teljesülne a következtetés: a megoldás során kapott \(\displaystyle \{1,5,6,7\}\) halmaz elemei közül például bárhogyan választunk néhányat (de legalább egyet), az összeg nem lesz 10-zel osztható.

Statistics:

231 students sent a solution.
5 points:	114 students.
4 points:	33 students.
3 points:	34 students.
2 points:	18 students.
1 point:	8 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	12 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020