Problem C. 1627. (October 2020)
C. 1627. Prove that if \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) are real numbers, such that \(\displaystyle a+b+c>0\), \(\displaystyle ab+bc+ca>0\) and \(\displaystyle abc>0\), then \(\displaystyle a>0\), \(\displaystyle b>0\) and \(\displaystyle c>0\).
Proposed by S. Róka, Nyíregyháza
(5 pont)
Deadline expired on November 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. Mivel \(\displaystyle abc>0\), ezért \(\displaystyle a,b,c\) egyike sem 0, és vagy mindhárom pozitív, vagy pontosan egyikük pozitív. Előbbi esetben készen vagyunk, tegyük fel indirekten, hogy pontosan egyikük pozitív. A szimmetria alapján feltehető, hogy \(\displaystyle a,b\) negatívak, \(\displaystyle c\) pedig pozitív. Legyen \(\displaystyle a=-A,b=-B\), ekkor \(\displaystyle A,B,c\) pozitívak. Mivel \(\displaystyle a+b+c>0\), ezért \(\displaystyle c>A+B\). Mivel \(\displaystyle ab+bc+ca>0\), ezért \(\displaystyle AB>Ac+Bc=(A+B)c\). A korábbiak szerint \(\displaystyle c>A+B\), ezért \(\displaystyle (A+B)c>(A+B)^2=A^2+2AB+B^2\). Így kapjuk, hogy \(\displaystyle AB>(A+B)c>A^2+2AB+B^2\), amiből \(\displaystyle 0>A^2+AB+B^2\), ami ellentmondás, hiszen \(\displaystyle A,B\) pozitív számok. Ez az ellentmondás mutatja, hogy valójában csak az a lehetőség fordulhat elő, hogy \(\displaystyle a,b,c\) pozitívak.
2. megoldás. Tekintsük a \(\displaystyle p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)\) polinomot, ennek gyökei \(\displaystyle a,b,c\). Mivel \(\displaystyle p(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc\), ezért ha \(\displaystyle x\leq 0\), akkor \(\displaystyle p(x)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc<0\), hiszen az első három tag nem pozitív, a konstanstag pedig negatív. Vagyis \(\displaystyle p\)-nek csak pozitív gyökei lehetnek, és így \(\displaystyle a,b,c\) valóban pozitívak.
Statistics:
254 students sent a solution. 5 points: 126 students. 4 points: 31 students. 3 points: 24 students. 2 points: 27 students. 1 point: 11 students. 0 point: 12 students. Unfair, not evaluated: 21 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 2 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020