Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1628. feladat (2020. október)

C. 1628. Adjunk meg két olyan különböző pozitív egész \(\displaystyle n\) számot, amelyre \(\displaystyle 4^n+4^9+4^{100}\) négyzetszám.

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Mivel \(\displaystyle 4^n+4^9+4^{100}>4^{100}\), ezért ha a kérdéses összeg négyzetszám, akkor értéke legalább \(\displaystyle (4^{50}+1)^2=4^{100}+2\cdot 4^{50}+1\), így \(\displaystyle n>50\). Tudjuk még, hogy \(\displaystyle 4^n+4^9+4^{100}=4^{9}(4^{n-9}+1+4^{91})=(2^9)^2(4^{n-9}+4^{91}+1)\) pontosan akkor négyzetszám, ha a \(\displaystyle 4^{n-9}+4^{91}+1\) szám egy páratlan négyzetszám. Olyan \(\displaystyle n\)-eket keresünk tehát, melyre ez az összeg \(\displaystyle (2k+1)^2=4k^2+4k+1\) alakú megfelelő \(\displaystyle k\) egész szám mellett. A \(\displaystyle 4^{n-9}+4^{91}+1=4k^2+4k+1\) egyenletet átalakítva kapjuk, hogy \(\displaystyle 4^{n-10}+4^{90}=k^2+k\)-nak kell teljesülnie. Ez biztosan teljesül, ha \(\displaystyle 4^{n-10}=k^2,\ 4^{90}=k\) vagy ha \(\displaystyle 4^{n-10}=k,\ 4^{90}=k^2\). Ezek teljesüléséhez az kell, hogy \(\displaystyle 4^{n-10}\) és \(\displaystyle 4^{90}\) közül az egyik a másik négyzete legyen, vagy ezzel ekvivalensen: az egyik kitevő a másik kitevő kétszerese legyen. Az \(\displaystyle n-10=2\cdot 90\) és \(\displaystyle 2(n-10)=90\) egyenlet pedig az \(\displaystyle n=190\) és \(\displaystyle n=55\) megoldásokat adják.

Tehát \(\displaystyle n=55\) és \(\displaystyle n=190\) esetén \(\displaystyle 4^n+4^9+4^{100}\) négyzetszám, ezzel megadtunk két megfelelő értéket.


Statisztika:

A C. 1628. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai