Problem C. 1628. (October 2020)

C. 1628. Find two distinct positive integers \(\displaystyle n\) for which \(\displaystyle 4^n+4^9+4^{100}\) is a perfect square.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle 4^n+4^9+4^{100}>4^{100}\), ezért ha a kérdéses összeg négyzetszám, akkor értéke legalább \(\displaystyle (4^{50}+1)^2=4^{100}+2\cdot 4^{50}+1\), így \(\displaystyle n>50\). Tudjuk még, hogy \(\displaystyle 4^n+4^9+4^{100}=4^{9}(4^{n-9}+1+4^{91})=(2^9)^2(4^{n-9}+4^{91}+1)\) pontosan akkor négyzetszám, ha a \(\displaystyle 4^{n-9}+4^{91}+1\) szám egy páratlan négyzetszám. Olyan \(\displaystyle n\)-eket keresünk tehát, melyre ez az összeg \(\displaystyle (2k+1)^2=4k^2+4k+1\) alakú megfelelő \(\displaystyle k\) egész szám mellett. A \(\displaystyle 4^{n-9}+4^{91}+1=4k^2+4k+1\) egyenletet átalakítva kapjuk, hogy \(\displaystyle 4^{n-10}+4^{90}=k^2+k\)-nak kell teljesülnie. Ez biztosan teljesül, ha \(\displaystyle 4^{n-10}=k^2,\ 4^{90}=k\) vagy ha \(\displaystyle 4^{n-10}=k,\ 4^{90}=k^2\). Ezek teljesüléséhez az kell, hogy \(\displaystyle 4^{n-10}\) és \(\displaystyle 4^{90}\) közül az egyik a másik négyzete legyen, vagy ezzel ekvivalensen: az egyik kitevő a másik kitevő kétszerese legyen. Az \(\displaystyle n-10=2\cdot 90\) és \(\displaystyle 2(n-10)=90\) egyenlet pedig az \(\displaystyle n=190\) és \(\displaystyle n=55\) megoldásokat adják.

Tehát \(\displaystyle n=55\) és \(\displaystyle n=190\) esetén \(\displaystyle 4^n+4^9+4^{100}\) négyzetszám, ezzel megadtunk két megfelelő értéket.

Statistics:

54 students sent a solution.
5 points:	Ádók Dóra, Albert Ákos, Andó Lujza, Bana Marcell, Biró 424 Ádám, Buzás Bence István, Dobi Dorina Lili, Egyházi Hanna, Farkas Lili, Féger Tamás, Fekete András Albert, Flódung Áron , Fonyi Máté Sándor, Golarits Botond, Gombos Gergely , Horváth 828 Mátyás, Juhász Csenge Judit , Kereszturi Bálint, Margaritisz Fanni, Molnár Réka, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Rátki Gergely, Rohrsetzer Anna , Schnábel Martin, Skrabák Boglárka, Szabó Csege, Szakos Máté Antal, Szalanics Tamás, Szin Imola, Téglás Panna, Toffalini Leonardo, Tóth Áron, Varga 601 Zalán, Varga 928 Péter, Xu Yiling, Zaránd Andris.
4 points:	Danó Ádám, Horváth Antal, Kórik Edina, Kriskó Kitti, Schneider Anna, Szántó Marcell.
3 points:	4 students.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020