Problem C. 1629. (October 2020)

C. 1629. A sphere passes through four vertices of one face of a cube, and is tangent to the opposite face. Determine the radius of the sphere if the edge of the cube is 8 units long.

(Croatian problem)

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Legyen a lap, aminek négy csúcsán átmegy a gömb \(\displaystyle ABCD\), a lap középpontja \(\displaystyle P\), a szemközti lap középpontja pedig \(\displaystyle Q\), a gömb sugarát pedig jelölje \(\displaystyle r\). Mivel a gömb átmegy az \(\displaystyle A,B,C,D\) pontok mindegyikén, így \(\displaystyle O\) középpontja illeszkedik ezen pontok közül bármely kettő felezőmerőleges síkjára. Ezen síkok metszete a \(\displaystyle P\) pontban az \(\displaystyle ABCD\) síkjára állított merőleges egyenes, vagyis a \(\displaystyle PQ\) egyenes. A gömb \(\displaystyle O\) középpontja tehát a \(\displaystyle PQ\) egyenesre esik. Csak a \(\displaystyle Q\) végpontú, \(\displaystyle P\)-t tartalmazó félegyenesen lehet, hiszen különben \(\displaystyle OQ<OP<OA\) miatt a feltételek nem teljesülhetnének. Tehát \(\displaystyle O\) a \(\displaystyle QP\) félegyenes azon pontja, mely \(\displaystyle r\) távolságra van \(\displaystyle Q\)-tól (hiszen a gömb érinti az \(\displaystyle ABCD\)-vel szemközti lapot, és mivel \(\displaystyle OQ\) merőleges a lapra, ezért az érintési pont \(\displaystyle Q\)): \(\displaystyle QO=r\). Mivel a feltételek szerint \(\displaystyle OA=OB=OC=OD=r\) szintén teljesül, ezért a Pitagorasz-tétel alapján

\(\displaystyle r^2=OA^2=AP^2+PO^2=\frac{1}{4}AC^2+(8-r)^2=\frac{1}{4}(8^2+8^2)+(8-r)^2=r^2-16r+96,\)

amiből \(\displaystyle r=96/16=6\). (A számolás során használtuk, hogy \(\displaystyle PQ=8\), ugyanis \(\displaystyle PQ\) merőleges az \(\displaystyle ABCD\) síkra, és a kocka szemköztes lapjainak távolsága a kocka élhossza.)

Tehát a gömb sugara \(\displaystyle r=6\).

Statistics:

58 students sent a solution.
5 points:	Andó Lujza, Baksay Réka, Biró 424 Ádám, Bődi Lili, Dlauchy Miksa, Dobi Dorina Lili, Domján Dorina, Egyházi Hanna, Féger Tamás, Fekete András Albert, Flódung Áron , Golarits Botond, Gombos Gergely , Hámori Szilvia, Horváth 828 Mátyás, Kelemen Anna, Margaritisz Fanni, Molnár Réka, Nagy Vanda Orsolya, Németh László Csaba, Németh Máté Előd, Nyári Péter Ádám, Rátki Gergely, Rokonay Szonja, Schneider Anna, Szabó Csege, Szalanics Tamás, Szirmai Dénes, Téglás Panna, Török Miksa, Tüske Anna, Varga 601 Zalán, Xu Yiling, Zaránd Andris, Zsoldos Péter.
4 points:	Bana Marcell, Farkas Lili, Fischer Nóra Anna, Fonyi Máté Sándor, Hamar János, Horváth Antal, Katrenák Győző Áron, Kiss 888 Gergely, Németh Kristóf, Schnábel Martin, Sütő Csenge, Toffalini Leonardo, Turai Johanna.
3 points:	3 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2020