Problem C. 1630. (November 2020)
C. 1630. The numbers 1 to 32 are written in the white fields of a chessboard, using each number once. Then the sum of the numbers in the adjacent fields is entered in each black field. What are the smallest and largest possible values of the sum of the numbers in the black fields?
(5 pont)
Deadline expired on December 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Amikor a fekete mezőkbe írt számokat összeadjuk, egy adott fehér mezőbe írt számot annyiszor kell vennünk, ahány fekete szomszédja van a fehér mezőnek. Minden fehér mező 2, 3, vagy 4 fekete mezővel szomszédos:
- 2-vel szomszédos 2 darab (a 2 átellenes fehér sarokmező),
- 3-mal szomszédos 12 darab (a többi, a tábla szélén lévő fehér mező),
- 4-gyel szomszédos 18 darab (a többi fehér mező).
Ha a 2-2 szomszédos fekete mezővel rendelkező mezőkbe az \(\displaystyle a_1,a_2\) értékek kerülnek, a 3-3 szomszéddal rendelkezőkbe \(\displaystyle a_3,a_4,\dots,a_{14}\), a 4-4 szomszéddal rendelkezőkbe pedig \(\displaystyle a_{15},\dots,a_{32}\), akkor a kapott összeg:
\(\displaystyle 2a_1+2a_2+3a_3+\dots+3a_{14}+4a_{15}+\dots+4a_{32}.\)
Világos, hogy akkor kapjuk a legkisebb összeget, ha a legkevesebb szomszéddal rendelkező helyekre kerülnek a legnagyobb értékek, a legtöbb szomszéddal rendelkező helyekre pedig a legkisebb értékek (ezt egyben az úgynevezett rendezési tétel is kimondja), vagyis ha \(\displaystyle \{a_1,a_2\}=\{31,32\}\), \(\displaystyle \{a_3,\dots,a_{14}\}=\{19, \dots ,30\}\), \(\displaystyle \{ a_{15},\dots,a_{32}\}=\{1,\dots,18\}\). Ez úgy is látható, hogy
$$\begin{multline*}2a_1+2a_2+3a_3+\dots+3a_{14}+4a_{15}+\dots+4a_{32}=3(a_1+\dots+a_{32})-(a_1+a_2)+(a_{15}+\dots+a_{32})=\\ =3(1+2+\dots+32)-(a_1+a_2)+(a_{15}+\dots+a_{32})\geq 3(1+2+\dots+32)-(31+32)+(1+2+\dots+18) ,\end{multline*}$$ahol egyenlőség éppen a fenti esetben áll fenn.
Ekkor az összeg értéke:
\(\displaystyle 2(31+32)+3(19+20+\dots+30)+4(1+2+\dots+18)=2\cdot 63+3\cdot 294+4\cdot 171=1692.\)
Ehhez hasonlóan, a legnagyobb összeg pedig akkor adódik, amikor a legkevesebb szomszéddal rendelkező helyekre a legkisebb értékek kerülnek, a legtöbb szomszéddal rendelkező helyekre pedig a legnagyobb értékek (ismét hivatkozhatunk a rendezési tételre is), vagyis ha \(\displaystyle \{a_1,a_2\}=\{1,2\}\), \(\displaystyle \{a_3,\dots,a_{14}\}=\{3, \dots ,14\}\), \(\displaystyle \{ a_{15},\dots,a_{32}\}=\{15,\dots,32\}\). Ekkor az összeg értéke:
\(\displaystyle 2(1+2)+3(3+4+\dots+14)+4(15+16+\dots+32)=2\cdot 3+3\cdot 102+4\cdot 423=2004.\)
Tehát a fekete mezőkbe írt számok összegének lehetséges legkisebb értéke 1692, lehetséges legnagyobb értéke pedig 2004.
Statistics:
206 students sent a solution. 5 points: 112 students. 4 points: 21 students. 3 points: 15 students. 2 points: 11 students. 1 point: 9 students. 0 point: 18 students. Unfair, not evaluated: 17 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 3 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2020