Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1632. (November 2020)

C. 1632. How many different infinite arithmetic sequences of positive integer terms are there in which 24, 744 and 2844 all occur? Two arithmetic sequences are considered different if they have different first terms or different common differences.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a számtani sorozat \(\displaystyle a_1,a_2,\dots\), a differenciája pedig \(\displaystyle d\). Mivel a sorozat nem konstans, és pozitív egészekből áll, ezért növekedő, vagyis \(\displaystyle d>0\) és valamely \(\displaystyle 1\leq i<j<k\) indexekre \(\displaystyle a_i=24,a_j=744,a_k=2844\). Mivel \(\displaystyle (j-i)d=a_j-a_i=720\) és \(\displaystyle (k-j)d=a_k-a_j=2100\), ezért \(\displaystyle d\mid (720,2100)=60\).

Megfordítva, ha \(\displaystyle d\) a 60 valamely pozitív osztója, akkor ha 24 a sorozat eleme, akkor a sorozat mindenképpen tartalmazza a 744-et és a 2844-et is. Ha \(\displaystyle a_i=24\), akkor \(\displaystyle a_1=24-d(i-1)\), és a sorozat pontosan akkor áll pozitív egészekből, ha már \(\displaystyle a_1=24-d(i-1)\) értéke is pozitív. Vagyis \(\displaystyle 24>d(i-1)\), és így \(\displaystyle \lceil 24/d \rceil \geq i\) kell, hogy teljesüljön. Vagyis, ha \(\displaystyle d\) a 60 valamelyik pozitív osztója, akkor \(\displaystyle a_1\) megválasztására \(\displaystyle \lceil 24/d \rceil\) lehetőség van, ezt kell összegezni, hogy megkapjuk a megfelelő sorozatok számát. Részletezve:

  • \(\displaystyle d=1\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 1,2,\dots,24\), ez 24 lehetőség
  • \(\displaystyle d=2\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 2,4,\dots,24\), ez 12 lehetőség
  • \(\displaystyle d=3\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 3,6,\dots,24\), ez 8 lehetőség
  • \(\displaystyle d=4\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 4,8,\dots,24\), ez 6 lehetőség
  • \(\displaystyle d=5\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 4,9,14,19,24\), ez 5 lehetőség
  • \(\displaystyle d=6\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 6,12,18,24\), ez 4 lehetőség
  • \(\displaystyle d=10\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 4,14,24\), ez 3 lehetőség
  • \(\displaystyle d=12\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 12,24\), ez 2 lehetőség
  • \(\displaystyle d=15\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet: \(\displaystyle 9,24\), ez 2 lehetőség
  • \(\displaystyle d=20\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke lehet \(\displaystyle 4,24\), ez 2 lehetőség
  • \(\displaystyle d=30\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke csak 24 lehet, ez 1 lehetőség
  • \(\displaystyle d=60\) esetén \(\displaystyle a_1\) értéke csak 24 lehet, ez 1 lehetőség

Ezek alapján a megfelelő sorozatok száma \(\displaystyle 24+12+8+6+5+4+3+2+2+2+1+1=70\).

Statistics:

230 students sent a solution.
5 points:89 students.
4 points:24 students.
3 points:17 students.
2 points:38 students.
1 point:25 students.
0 point:24 students.
Unfair, not evaluated:13 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2020