Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1634. feladat (2020. november)

C. 1634. Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac{1}{4} +\frac{1}{28} +\frac{1}{70} +\ldots +\frac{1}{(3k-2)(3k+1)} +\ldots +\frac{1}{2017\cdot 2020} < \frac{1}{3}. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Írjuk fel az összeg \(\displaystyle k\)-adik tagját

\(\displaystyle \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\frac13 \left( \frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1} \right)\)

alakban az összes (673 darab) tagra, így a bal oldalon egy teleszkopikus összeget kapunk:

\(\displaystyle \frac13 \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10} + \dots+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2020} \right)=\frac13 \left( 1-\frac{1}{2020} \right),\)

ami valóban kisebb \(\displaystyle \frac13\)-nál, értéke egészen pontosan \(\displaystyle \frac13-\frac{1}{6060}\). Ezzel a feladat állítását igazoltuk.


Statisztika:

183 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:127 versenyző.
4 pontot kapott:25 versenyző.
3 pontot kapott:11 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:10 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:2 dolgozat.

A KöMaL 2020. novemberi matematika feladatai