Problem C. 1637. (December 2020)

C. 1637. In Dragonland, every seven-headed dragon blows fire, but not all seven-headed, fire-blowing creatures are dragons. According to the latest census figures, the number of dragons in Dragonland is equal to the number of fire-blowing creatures. Is it true that every dragon has seven heads?

(5 pont)

Deadline expired on January 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy nem igaz.

Ha minden sárkány hétfejű lenne, akkor az első feltétel alapján az is teljesülne, hogy mind tüzet okádnak. Azaz minden sárkány tűzokádó lenne. Mivel ugyanannyi sárkány van, mint tűzokádó lény, ezért ez azt jelentené, hogy mindez megfordítva is igaz: minden tűzokádó lény sárkány. Ez azonban ellentmond annak, hogy nem minden hétfejű tűzokádó lény sárkány, ez a feltétel ugyanis azt jelenti, hogy van olyan tűzokádó lény, aminek egyrészt hét feje van (de ez most nem játszik szerepet), másrészt nem sárkány.

Megjegyzés. Az ilyen típusú feladatoknál érdemes Venn-diagramot készíteni (lásd az alábbi ábrát, ahol \(\displaystyle S\) a sárkányok, \(\displaystyle H\) a hétfejűek, \(\displaystyle T\) pedig a tűzokádó lények halmaza).

Az a feltétel, hogy minden hétfejű sárkány tüzet okád, azt jelenti, hogy a pirossal jelölt rész (\(\displaystyle S\cap H \setminus T\)) üres. Az pedig, hogy nem minden hétfejű tüzet okádó lény sárkány azt jelenti, hogy \(\displaystyle H\cap T\setminus S\ne \emptyset\) (az ábrán egy pont jelöli, hogy ebben a részben legalább egy elem található). Ha minden sárkány hétfejű lenne, az azt jelentené, hogy \(\displaystyle S\setminus H\) (az ábrán kékkel jelölt rész) üres. Ekkor viszont az összes sárkány \(\displaystyle S\cap H\cap T\) eleme lenne, így mivel \(\displaystyle H\cap T\setminus S\)-ben is van legalább egy lény, több tűzokádó lenne, mint sárkány, ellentétben a megadott feltétellel.

Statistics:

181 students sent a solution.
5 points:	167 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2020