A C. 1639. feladat (2020. december)

C. 1639. Gondoltunk öt számra. Közülük minden lehetséges módon kiválasztottunk hármat-hármat és összeadtuk őket. Összegként a következő értékeket kaptuk: 41, 42, 44, 51, 52, 53, 54, 54, 55, 64. Mi volt az öt gondolt szám?

Javasolta: Kiss Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az öt szám nagyság szerinti sorrendben \(\displaystyle a<b<c<d<e\). Az összes hármas összege \(\displaystyle 6(a+b+c+d+e)\), hiszen mindegyik szám mellé \(\displaystyle \binom{4}{2}=6\)-féleképpen választható két másik. A megadott 10 érték összege

\(\displaystyle 41+42+44+51+52+53+54+54+55+64=510,\)

így \(\displaystyle a+b+c+d+e=\frac{510}{6}=85\).

Világos, hogy a legkisebb összeg \(\displaystyle a+b+c\), így \(\displaystyle d+e=(a+b+c+d+e)-(a+b+c)=85-41=44\). Ehhez hasonlóan, a legnagyobb összeg \(\displaystyle c+d+e\), ezért \(\displaystyle a+b=(a+b+c+d+e)-(c+d+e)=85-64=21\).

Ebből \(\displaystyle c\) értéke már meghatározható:

\(\displaystyle c=(a+b+c+d+e)-(a+b)-(d+e)=85-21-44=20.\)

A második legkisebb összeg \(\displaystyle a+b+d\), így

\(\displaystyle d-c=(a+b+d)-(a+b+c)=42-41=1\)

alapján \(\displaystyle d=c+1=21\). Mivel \(\displaystyle d+e=44\), ezért ebből \(\displaystyle e=(d+e)-d=44-21=23\).

Ehhez hasonlóan, a második legnagyobb összeg \(\displaystyle b+d+e\), és így

\(\displaystyle c-b=(c+d+e)-(b+d+e)=64-55=9,\)

amiből \(\displaystyle b=c-(c-b)=20-9=11\). Mivel \(\displaystyle a+b=21\), ezért ebből \(\displaystyle a=(a+b)-b=21-11=10\). Beláttuk, hogy az öt szám csak \(\displaystyle 10,11,20,21,23\) lehet. Ezután még ellenőriznünk kell, hogy valóban a megadott 10 értéket kapjuk a hármas összegeket kiszámolva, és gyors számolás mutatja, hogy ez valóban teljesül.

Tehát az öt gondolt szám: \(\displaystyle 10,11,20,21,23\).

Statisztika:

237 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	153 versenyző.
4 pontot kapott:	33 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai