Problem C. 1639. (December 2020)

C. 1639. We have five numbers in mind. By selecting three numbers in every possible way and adding them together, we got the following sums: 41, 42, 44, 51, 52, 53, 54, 54, 55, 64. What are the five numbers?

Proposed by S. Kiss, Nyíregyháza

(5 pont)

Deadline expired on January 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az öt szám nagyság szerinti sorrendben \(\displaystyle a<b<c<d<e\). Az összes hármas összege \(\displaystyle 6(a+b+c+d+e)\), hiszen mindegyik szám mellé \(\displaystyle \binom{4}{2}=6\)-féleképpen választható két másik. A megadott 10 érték összege

\(\displaystyle 41+42+44+51+52+53+54+54+55+64=510,\)

így \(\displaystyle a+b+c+d+e=\frac{510}{6}=85\).

Világos, hogy a legkisebb összeg \(\displaystyle a+b+c\), így \(\displaystyle d+e=(a+b+c+d+e)-(a+b+c)=85-41=44\). Ehhez hasonlóan, a legnagyobb összeg \(\displaystyle c+d+e\), ezért \(\displaystyle a+b=(a+b+c+d+e)-(c+d+e)=85-64=21\).

Ebből \(\displaystyle c\) értéke már meghatározható:

\(\displaystyle c=(a+b+c+d+e)-(a+b)-(d+e)=85-21-44=20.\)

A második legkisebb összeg \(\displaystyle a+b+d\), így

\(\displaystyle d-c=(a+b+d)-(a+b+c)=42-41=1\)

alapján \(\displaystyle d=c+1=21\). Mivel \(\displaystyle d+e=44\), ezért ebből \(\displaystyle e=(d+e)-d=44-21=23\).

Ehhez hasonlóan, a második legnagyobb összeg \(\displaystyle b+d+e\), és így

\(\displaystyle c-b=(c+d+e)-(b+d+e)=64-55=9,\)

amiből \(\displaystyle b=c-(c-b)=20-9=11\). Mivel \(\displaystyle a+b=21\), ezért ebből \(\displaystyle a=(a+b)-b=21-11=10\). Beláttuk, hogy az öt szám csak \(\displaystyle 10,11,20,21,23\) lehet. Ezután még ellenőriznünk kell, hogy valóban a megadott 10 értéket kapjuk a hármas összegeket kiszámolva, és gyors számolás mutatja, hogy ez valóban teljesül.

Tehát az öt gondolt szám: \(\displaystyle 10,11,20,21,23\).

Statistics:

237 students sent a solution.
5 points:	153 students.
4 points:	33 students.
3 points:	18 students.
2 points:	15 students.
1 point:	6 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	8 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2020