Problem C. 1641. (December 2020)
C. 1641. In the expansion of the power \(\displaystyle {(a+b+c)}^{10}\), determine the coefficient of the term in \(\displaystyle a^3b^2c^5\).
Proposed by S. Kiss, Nyíregyháza
(5 pont)
Deadline expired on January 11, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. Az \(\displaystyle (a+b+c)^{10}=(a+b+c)\cdot(a+b+c)\cdot \ldots \cdot (a+b+c)\) szorzatban a zárójelek felbontása után olyan 10-tényezős szorzatok összegét kapjuk, hogy a 10 tényező mindegyike \(\displaystyle a,b\) vagy \(\displaystyle c\), mind a \(\displaystyle 3^{10}\)-féle lehetséges sorrendben. A kérdés tehát az, hogy hány olyan 10 hosszú \(\displaystyle \{a,b,c\}\)-sorozat van, amiben pontosan három \(\displaystyle a\), két \(\displaystyle b\) és öt \(\displaystyle c\) szerepel. Más szavakkal, hányféle 10 hosszú sorozat áll elő három \(\displaystyle a\)-ból, két \(\displaystyle b\)-ből és öt \(\displaystyle c\)-ből. Ha mind a 10 betű különböző lenne, akkor \(\displaystyle 10!\) féle sorrend lenne, azonban a három \(\displaystyle a\) egymás közti permutálásával a sorozat nem változik, és ugyanez igaz a két \(\displaystyle b\) vagy az öt \(\displaystyle c\) egymás közötti permutálására (minden más változtatás esetén azonban valóban különböző sorozat áll elő), így a megfelelő sorozatok száma \(\displaystyle \frac{10!}{3!\cdot 2!\cdot 5!}=2520\).
Tehát \(\displaystyle a^3b^2c^5\) együtthatója 2520 lesz.
Megjegyzés. Általánosan, ha \(\displaystyle k\)-féle dolog sorrendbe rendezéseinek számára vagyunk kíváncsiak, és ezekbből rendre \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_k\) darab van, akkor a fentiekhez hasonlóan látható, hogy a lehetőségek száma \(\displaystyle \frac{(a_1+a_2\dots+a_k)!}{a_1!a_2!\dots a_k!}\). Ezt hívják ismétléses permutációnak.
II. megoldás. Ahhoz, hogy \(\displaystyle a^3b^2c^5\)-t kapjunk, a 10 darab \(\displaystyle (a+b+c)\) tényező közül háromból kell \(\displaystyle a\)-t, kettőből \(\displaystyle b\)-t és ötből \(\displaystyle c\)-t választanunk. Az \(\displaystyle a\) tényezők kiválasztására a lehetőségek száma \(\displaystyle \binom{10}{3}\), ezután a maradék hét \(\displaystyle (a+b+c)\) közül kettőből kell \(\displaystyle b\)-t választanunk, amire a lehetőségek száma \(\displaystyle \binom{7}{2}\). Ezután mind az öt maradék \(\displaystyle (a+b+c)\)-ből a \(\displaystyle c\)-t kell választanunk. Így a lehetőségek száma \(\displaystyle \binom{10}{3}\cdot \binom{7}{2}=120\cdot 21=2520\).
Statistics:
165 students sent a solution. 5 points: 129 students. 4 points: 8 students. 3 points: 5 students. 2 points: 5 students. 1 point: 4 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 13 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2020