A C. 1643. feladat (2020. december)

C. 1643. Számológép használata nélkül határozzuk meg a

\(\displaystyle (\log_{10}11)\cdot (\log_{11}12)\cdot (\log_{12}13)\cdot\ldots \cdot(\log_{99}100) \)

kifejezés értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a 10 alapú logaritmust \(\displaystyle \text{lg}\). A logaritmus azonosságait használva írjunk át mindent 10-es alapú logaritmusra, majd vegyük észre, hogy teleszkopikus szorzatot kapunk:

\(\displaystyle (\log_{10}11)\cdot(\log_{11}12)\cdot(\log_{12}13)\cdot\ldots\cdot(\log_{99}100)=\frac{\text{lg }11}{\text{lg }10}\cdot\frac{\text{lg }12}{\text{lg }11}\cdot\frac{\text{lg }13}{\text{lg }12}\cdot\ldots \frac{\text{lg }100}{\text{lg }99}=\frac{\text{lg }100}{\text{lg }10}=\frac{2}{1}=2.\)

Tehát a kifejezés értéke 2.

Statisztika:

85 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	65 versenyző.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2020. decemberi matematika feladatai