Problem C. 1643. (December 2020)

C. 1643. Without using a calculator, evaluate the expression

\(\displaystyle (\log_{10}11)\cdot (\log_{11}12)\cdot (\log_{12}13)\cdot\ldots \cdot(\log_{99}100). \)

(5 pont)

Deadline expired on January 11, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a 10 alapú logaritmust \(\displaystyle \text{lg}\). A logaritmus azonosságait használva írjunk át mindent 10-es alapú logaritmusra, majd vegyük észre, hogy teleszkopikus szorzatot kapunk:

\(\displaystyle (\log_{10}11)\cdot(\log_{11}12)\cdot(\log_{12}13)\cdot\ldots\cdot(\log_{99}100)=\frac{\text{lg }11}{\text{lg }10}\cdot\frac{\text{lg }12}{\text{lg }11}\cdot\frac{\text{lg }13}{\text{lg }12}\cdot\ldots \frac{\text{lg }100}{\text{lg }99}=\frac{\text{lg }100}{\text{lg }10}=\frac{2}{1}=2.\)

Tehát a kifejezés értéke 2.

Statistics:

85 students sent a solution.
5 points:	65 students.
4 points:	10 students.
3 points:	2 students.
1 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2020