Problem C. 1646. (January 2021)

C. 1646. Find the integer solutions of the equation \(\displaystyle {(xy-1)}^2 = {(x + 1)}^2 + {(y + 1)}^2\).

Proposed by M. Szalai, Szeged

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A négyzetre emeléseket elvégezve, majd mindkét oldalhoz \(\displaystyle (2xy-1)\)-et adva a jobb oldalon \(\displaystyle (x+y+1)^2\)-t kapunk:

\(\displaystyle (xy)^2-2xy+1=x^2+2x+1+y^2+2y+1,\)

\(\displaystyle (xy)^2=x^2+2x+y^2+2y+2xy+1,\)

\(\displaystyle (xy)^2=(x+y+1)^2.\)

Ez az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle xy=x+y+1\) vagy \(\displaystyle xy=-(x+y+1)\). A két esetet külön-külön megvizsgáljuk.

Először nézzük az \(\displaystyle xy=-(x+y+1)\) esetet. Átrendezés után az \(\displaystyle (x+1)(y+1)=0\) egyenletet kapjuk, ami pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) valamelyike \(\displaystyle -1\).

Most tekintsük az \(\displaystyle xy=x+y+1\) esetet. Alkalmas átrendezés után az egyenlet \(\displaystyle (x-1)(y-1)=2\) alakban írható. Mivel \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) egészek, ezért \(\displaystyle x-1\) és \(\displaystyle y-1\) is azok, viszont a 2 csak a következőképpen állhat elő két egész szám szorzataként: \(\displaystyle 2\cdot 1=1\cdot 2=(-2)\cdot (-1)=(-1)\cdot (-2)\). Ezekből rendre az \(\displaystyle (3,2),\ (2,3),\ (-1,0),\ (0,-1)\) megoldásokat kapjuk, ezek közül az utóbbi kettőt az előző esetben is megkaptuk már.

Tehát az egyenletnek végtelen sok megoldása van: \(\displaystyle (x, -1)\) (ahol \(\displaystyle x\) tetszőleges egész), \(\displaystyle (-1,y)\) (ahol \(\displaystyle y\) tetszőleges egész), \(\displaystyle (3,2)\) és \(\displaystyle (2,3)\).

Statistics:

175 students sent a solution.
5 points:	80 students.
4 points:	11 students.
3 points:	24 students.
2 points:	25 students.
1 point:	19 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	8 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2021