Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1647. feladat (2021. január)

C. 1647. Egy egyenlő szárú háromszög száraihoz tartozó súlyvonalak merőlegesek egymásra. Jelölje \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle R\) a háromszög beírt és körülírt körének sugarát. Határozzuk meg az \(\displaystyle \frac{r}{R}\) arány pontos értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelöléseink az ábrán láthatók, ahol az \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AC\) szárak felezőpontjait rendre \(\displaystyle D, E\)-vel, az \(\displaystyle AB\) alap felezőpontját \(\displaystyle F\)-fel jelöltük.

Az egyenlő szárú háromszög az \(\displaystyle AB\) alap \(\displaystyle CF\) felezőmerőlegesére szimmetrikus, ezért ha \(\displaystyle SD=x\), akkor \(\displaystyle SE=x\) is igaz, a súlypont pedig a súlyvonalak csúcstól távolabb eső harmadolópontja, tehát \(\displaystyle SA=SB=2x\).

A feltétel alapján az \(\displaystyle ABS\) háromszög egyenlő szárú, derékszögű háromszög, ezért

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle AB=2x\cdot{\sqrt{2}}.\)

Az \(\displaystyle ASE\) és \(\displaystyle BSD\) egybevágó derékszögű háromszögek, ezért a Pitagorasz-tétel alkalmazása után azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{AC}{2}=\frac{BC}{2}=AE=BD=x\cdot{\sqrt{5}},\)

így

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle AC=BC=2x\cdot{\sqrt{5}}.\)

Ebből (1) és (2) alapján az következik, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög kerülete:

\(\displaystyle (3)\)\(\displaystyle K_{ABC}=2x\cdot({\sqrt{2}+2{\sqrt{5}}}).\)

Bármely háromszög súlyvonala felezi a háromszög területét, ezért az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe:

\(\displaystyle (4)\)\(\displaystyle T_{ABC}=2\cdot{T_{ABD}}=2\cdot{\frac{3x\cdot{2x}}{2}}=6x^2.\)

Ismeretes, hogy minden háromszögben \(\displaystyle \frac{T}{K}=\frac{r}{2}\), ezért (3) és (4) felhasználásával

\(\displaystyle r=\frac{2\cdot{T_{ABC}}}{K_{ABC}}=\frac{12x^2}{2x\cdot({\sqrt{2}+2{\sqrt{5}}})}.\)

A törtet egyszerűsítve és a nevezőt gyöktelenítve:

\(\displaystyle (5)\)\(\displaystyle r=x\cdot{\frac{6(2\sqrt{5}-\sqrt{2})}{20-2}}=x\cdot{\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}}.\)

Minden háromszögben érvényes az

\(\displaystyle R=\frac{abc}{4T}\)

összefüggés, ezért

\(\displaystyle R=\frac{2x\cdot\sqrt{5}\cdot2x\cdot\sqrt{5}\cdot2x\cdot\sqrt{2}}{24x^2},\)

ebből egyszerűsítés után adódik, hogy:

\(\displaystyle (6)\)\(\displaystyle R=x\cdot{\frac{5\sqrt{2}}{3}}.\)

Az (5) és (6) eredmények felhasználásával a beírt és körülírt kör sugarának aránya:

\(\displaystyle \frac{r}{R}=x\cdot{\frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}}\cdot\frac{3}{x\cdot5\sqrt{2}}.\)

Egyszerűsítve és a nevezőt négyzetgyöktelenítve:

\(\displaystyle \frac{r}{R}=\frac{2\sqrt5-\sqrt2}{5\sqrt2}=\frac{2\sqrt{10}-2}{10}=\frac{\sqrt{10}-1}{5},\)

ez a feltételeknek megfelelő egyenlőszárú háromszög beírt és körülírt körei sugarának arányára adott pontos érték.


Statisztika:

A C. 1647. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2021. januári matematika feladatai