Problem C. 1648. (January 2021)

C. 1648. King Arthur and Sir Lancelot are running a horse race. Sir Lancelot says, ``Since Your Majesty's speed is only \(\displaystyle \frac{2}{3}\) of mine, I will give Your Majesty a handicap of \(\displaystyle 100\) metres, and then I would catch up within the length of the race track. Alternatively, if Your Majesty reduced speed by \(\displaystyle 2 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) and I reduced mine by \(\displaystyle 5 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\), but I gave Your Majesty a \(\displaystyle 50\) metre handicap only, I would also be able to catch up within the length of the track. The sum of the two time intervals required to catch up is exactly \(\displaystyle 75\) seconds.'' Determine the speeds of King Arthur and of Sir Lancelot.

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2021.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen Sir Lancelot gyalog-galopp sebessége \(\displaystyle x\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\). Ekkor a feltétel alapján Arthur királyé \(\displaystyle \frac{2}{3}x\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\). Ha Sir Lancelot 100 méter előnyt ad Arthur királynak, akkor \(\displaystyle \frac{100}{x-\frac{2}{3}x}=\frac{300}{x}\) másodperc alatt éri utol, hiszen indulás után a relatív sebességük \(\displaystyle \left(x-\frac{2}{3}x\right)\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\) lesz, az utolérés pedig akkor következik be, amikor 100-ról 0-ra csökken a távolságuk.

A második esetben Arthur király sebessége \(\displaystyle \left(\frac23 x-2\right)\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\), Sir Lanceloté \(\displaystyle (x-5)\ \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\), az előny pedig 50 méter, így az utolérési idő \(\displaystyle \frac{50}{(x-5)-\left(\frac23 x-2\right)}=\frac{50}{\frac{x}{3}-3}=\frac{150}{x-9}\) másodperc. Ebből az is kiderül, hogy \(\displaystyle x>9\), hiszen különben negatív (vagy 0) értéket kapnánk, ami azt jelentené, hogy Sir Lancelot így már valójában lassabb Arthur királynál (vagy épp egyforma gyorsak).

Azt kell meghatároznunk, milyen \(\displaystyle x>9\) mellett lesz

\(\displaystyle \frac{300}{x}+\frac{150}{x-9}=75,\)

azaz

\(\displaystyle \frac{4}{x}+\frac{2}{x-9}=1.\)

A \(\displaystyle (9,\infty)\) intervallumon a bal oldal értéke szigorúan monoton csökkenő, így legfeljebb egy megoldás lehet, és nem nehéz észrevenni, hogy ez a megoldás \(\displaystyle x=12\). (Ehelyett a nevezőkkel való felszorzás után kapott másodfokú egyenletet megoldva is megkaphatjuk, hogy \(\displaystyle x=12\), az egyenlet másik gyöke \(\displaystyle x=3\), ami például azért sem adhat megoldást, mert ekkor Sir Lancelot 5 \(\displaystyle \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\)-mal csökkentett sebességének mérőszáma már negatív lenne.)

Tehát Sir Lancelot gyalog-galopp sebessége 12 \(\displaystyle \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\), Arthur királyé pedig 8 \(\displaystyle \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\) (a második változatban pedig 7 \(\displaystyle \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}\), illetve 6 \(\displaystyle \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}}s\)). Ellenőrzésként az utolérési idők: eredetileg \(\displaystyle \frac{300}{12}=25\) másodperc, az elképzelt második esetben pedig \(\displaystyle \frac{150}{x-9}=50\) másodperc, az összeg valóban 75 másodperc.

Statistics:

167 students sent a solution.
5 points:	122 students.
4 points:	13 students.
3 points:	13 students.
2 points:	6 students.
1 point:	6 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2021